Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

2 y - x 4 d x + x d y = 0

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, temos uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO não é separável. E agora? Mas ela parece aquelas EDOs exatas. Vamos confirmar?

Um EDO exata tem esse formato aqui

M x , y d x + N x , y d y = 0  

E para comprovar se ela é exata é preciso satisfazer a condição

∂ M x , y ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

No caso da nossa equação

2 y - x 4 d x + x d y = 0

M x , y = 2 y - x 4

N x , y = x

∂ M x , y ∂ y = 2

∂ N ( x , y ) ∂ x = 1

Putz ! Não temos uma equação exata. Mas tá quase lá, então podemos encontrar um fator integrante para ela se tornar exata.

Passo 3

Vamos encontrar esse tal de fator integrante. Há duas possibilidades

Candidato 1

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 2 - 1 x = 1 x

Candidato 2

∂ N ∂ y - ∂ M ∂ x M = 1 - 2 2 y - x 4

O fator integrante deve ser função ou só de x ou só de y . Então nossa melhor escolha é o candidato 1.

h x = 1 x

Para saber o fator integrante u ( x ) mesmo, precisamos fazer

u x = e ∫ h ( x ) d x

∫ h x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Então

u x = e ln ⁡ x = x

Passo 4

Agora precisamos multiplicar os termos da equação pelo fator integrante, conferir se ficou exata mesmo e depois resolver a edo.

2 y - x 4 d x + x d y = 0

Multiplicando pelo fator integrante

x 2 y - x 4 d x + x 2 d y = 0

Então

M x , y = 2 x y - x 5

N x , y = x 2

∂ M x , y ∂ y = 2 x

∂ N ( x , y ) ∂ x = 2 x

Agora sim é uma equação exata e podemos resolver.

Passo 5

Primeiro precisamos calcular

∫ M x , y = ∫ 2 x y - x 5 d x

= ∫ 2 x y   d x - ∫ x 5 d x

= x 2 y - x 6 6 + g ( y )

Para encontrar g y vamos derivar a integral que calculamos em função de y e depois comparar com N ( x , y ) e integrar novamente.

∂ x 2 y - x 6 6 + g y ∂ y = x 2 + g ' ( y )

x 2 + g ' y = N ( x , y )

x 2 + g ' y = x 2

g ' y = 0

g y = ∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = 0

Passo 6

Por fim, só falta comprar nosso resultado com a constante de integração.

u x , y = C

u x , y = x 2 y - x 6 6

x 2 y - x 6 6 = C

x 2 y = C + x 6 6

y x = C x 2 + x 4 6

Agora sim, fim!

Resposta

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