2 . Considere a equação

sen ⁡ x ln ⁡ ( 1 + t 2 ) + N t , x x ˙ = 0

i . Encontre N ( t , x ) tal que a equação acima esteja na forma exata;

i i . Encontre uma solução para a equação utilizando a função N ( t , x ) encontrada no item anterior;

i i i . Prescreva uma condição inicial e encontre a solução do P V I associado.

Dica: considere integração por partes se for preciso calcular a integral de arctan ⁡ t .

Passo 1

O enunciado nos dar uma EDO homogênea e nos diz que quer que ela seja exata e a partir daí pede pra resolver a EDO e fazer o PVI, com isso a primeira coisa que fazer é deixar a EDO bem parecida com o que estamos acostumados a ver de uma EDO exata:

sen ⁡ x ln ⁡ ( 1 + t 2 ) + N t , x x ˙ = 0 ⇒ N t , x d x d t = - sen ⁡ x ln ⁡ 1 + t 2

N t , x d x + sen ⁡ x ln ⁡ 1 + t 2 d t = 0

Então vamos começar a resolver, mas pode ficar de boa que eu vou fazer o passo a passo com você!

Passo 2

i . A primeira coisa que precisamos saber é que uma EDO exata é quando M x = N t então para descobrir o N t , x vamos primeiro derivar o M t , x em função de x .

M x = ( cos ⁡ x ) ln ⁡ 1 + t 2

Encontramos M x e sabemos que ele é igual a N t temos que integrar esse valor em t , isto é:

N t = ( cos ⁡ x ) ln ⁡ 1 + t 2 ⇒ N = ∫ ( cos ⁡ x ) ln ⁡ 1 + t 2 d t = cos ⁡ x ∫ ln ⁡ 1 + t 2   d t

Agora precisamos resolver essa integralzinha.

Passo 3

Vamos resolver essa integral por frações parciais:

∫ ln ⁡ 1 + t 2   d t = t ln ⁡ 1 + t 2 - ∫ t 1 1 + t 2 2 t   d t = t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 ∫ 1 - 1 t 2 + 1 d t

                                              = t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + ∫ 1 t 2 + 1 d t = t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + tan - 1 ⁡ t

Juntando pra conseguir N temos que:

N = cos ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t

Achamos o nosso N t , x !!!

Passo 4

i i . Vamos encontrar a solução geral da forma que já estamos acostumados a resolver EDO exata.

d f d t = M                       1 d f d x = N                       2

Vamos integral 1 em função de t :

∫ sen ⁡ x ln ⁡ ( 1 + t 2 )   d t = sen ⁡ x ⋅ t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t + c x = f

Agora vamos derivar f que acabamos de achar em relação a x :

d f d t = cos ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t + c ' x

Vamos igualar isso a 2 e teremos:

cos ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t + c ' x = cos ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t

Com isso temos que:

c ' x = 0 ⇒ c x = C

Nossa resposta é:

sen ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t + C = D   ⇒   sen ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t = K

Passo 5

i i i . Para criar esse PVI precisamos definir um valor para t e uma para constante K .

Então para nós agora t = 2 e K = 1 , então:

x t = s e n - 1   K t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t = s e n - 1   1 2 ln ⁡ 5 - 4 + 2 tan - 1 ⁡ 2

= s e n - 1   1 3,22 - 4 + 2,21 = s e n - 1   1 1,43 = 0,77

Ou seja, nosso PVI será:

x 2 = 0,77

Resposta

i .

N = cos ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t

i i .

sen ⁡ x t ln ⁡ 1 + t 2 - 2 t + 2 tan - 1 ⁡ t = K

i i i .

x 2 = 0,77

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