Para cada uma das EDO’s a seguir, verifique que ela é exata e então determine sua solução geral.

6. e y - y e x d x + x e y - e x d y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a EDO é exata e determinar sua solução geral. Pra verificar se a equação é exata, vamos usar o critério de Euler, que nos diz que uma EDO do tipo:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

será exata se e somente se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Então, o que vamos fazer é derivar o termo que acompanha d x em relação a y e derivar o termo que acompanha d y em relação a x . Se os resultados forem iguais, a EDO é exata.

Depois de confirmar que ela é exata, para encontrar a solução da EDO, vamos usar o passo a passo a seguir:

1. Integrar M ( x ,   y ) em relação a x ;

2. Derivar o obtido no passo anterior com relação a y ;

3. Comparar o obtido no passo anterior com N ( x ,   y ) ;

4. Achar g ( y ) , integrando g ' ( y ) ;

5. Obter a função u ( x ,   y ) inserindo o obtido no passo anterior dentro da função do passo 1 .

A solução é dada implicitamente por:

u x ,   y = C

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando se e y - y e x d x + x e y - e x d y = 0 é exata. Pra isso, vamos definir:

M x ,   y = e y - y e x

N x ,   y = x e y - e x

Derivando M em relação a y , usando a regra do produto, temos:

∂ M ∂ y = e y - e x

Agora derivando N em relação a x , também usando a regra do produto, temos:

∂ N ∂ x = e y - e x

Portanto,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E a nossa EDO é exata, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora vamos encontrar a solução geral da nossa EDO exata. Pra isso, vamos começar derivando M ( x ,   y ) em relação a x :

∫ M x ,   y d x = ∫ e y - y e x d x

Vamos imaginar que y seja uma constante:

∫ e y - y e x d x = e y ∫ d x - y ∫ e x d x

Integrando, vamos obter:

x e y - y e x + g ( y )

Essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos em relação a x , toda função que dependesse apenas de y foi tratada como constante. Então, ao integrar devemos ter um termo que compense isso (é como se fosse aquela constante de integração).

Passo 4

Agora vamos derivar o resultado que acabamos de obter, em relação a y :

d d y x e y - y e x + g ( y )

x e y - e x + g ' y

Passo 5

Comparando o resultado obtido no passo 4 com N x ,   y = x e y - e x , vamos igualar:

x e y - e x + g ' y = x e y - e x

Simplificando os termos semelhantes, temos:

g ' y = 0

Então, pra achar g ( y ) basta integrar g ' ( y ) . Assim, vamos ter:

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Passo 6

Por fim, obtemos u x ,   y = ∫ M ( x ,   y ) d x inserindo o resultado do passo 5 na expressão do passo 3 :

u x ,   y = x e y - y e x + g ( y )

u x ,   y = x e y - y e x

A solução é dada implicitamente por u x ,   y = C :

u x ,   y = x e y - y e x = C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

u x ,   y = x e y - y e x = C

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