Considere a equação diferencial

x 3 + cos ⁡ ln ⁡ x x y + sen ⁡ ln ⁡ x + 3 y 2 y ' = 0

  1. Encontre a solução geral da equação diferencial
  2. Resolva o problema de valor inicial dado com y 1 = 1

Passo 1

Para resolvermos essa equação temos que antes reescreve-la como uma equação exata.

x 3 + cos ⁡ ln ⁡ x x y d x + sen ⁡ ln ⁡ x + 3 y 2 d y = 0

Vamos conferir se essa equação é exata mesmo.

M x , y = x 3 + cos ⁡ ln ⁡ x x y

N x , y = sen ⁡ ln ⁡ x + 3 y 2

Calculando as derivadas.

∂ M ∂ y = cos ⁡ ln ⁡ x x

∂ N ∂ x = cos ⁡ ln ⁡ x x

Como as derivadas são iguais nós podemos utilizar o método normal das equações exatas.

Passo 2

Integrando M ( x , y ) em função de x .

∫ M d x = ∫ x 3 + cos ⁡ ln ⁡ x x y d x = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + g ( y )

Passo 3

Derivando o que obtivemos no passo 2 em relação a y

∂ x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + g ( y ) ∂ y = sen ⁡ ln ⁡ x + g ' ( y )

Passo 4

Comparando o que obtivemos no passo 3 com N ( x , y ) .

sen ⁡ ln ⁡ x + g ' y = sen ⁡ ln ⁡ x + 3 y 2

g ' y = 3 y 2

Resolvendo a EDO teremos.

g y = y 3

Passo 5

Inserindo o que obtivemos no passo 4 com o que temos no passo 2 teremos a solução u ( x , y ) .

u = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + y 3

Como a nossa função deve ser uma constante.

C = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + y 3

Passo 6

b)

Agora devemos usar o valor inicial para encontrar a constante C .

C = 1 4 + sen ⁡ 0 + 1 3 = 5 4

Logo a nossa equação será.

5 4 = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + y 3

Resposta

  1. C = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + y 3
  2. 5 4 = x 4 4 + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) y + y 3

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