Resolva a equação diferencial não-linear x + 2 sin ⁡ y + x cos ⁡ y y ' = 0 , x > 0 , considerando a teoria sobre equações exatas.

Passo 1

A princípio,

∂ x + 2 sin ⁡ y ∂ y = x + 2 cos ⁡ y ≠ cos ⁡ y = ∂ x cos ⁡ y ∂ x

Logo, multiplicamos por um fator μ = μ x , y , tal que:

∂ μ x + 2 sin ⁡ y ∂ y = ∂ μ x cos ⁡ y ∂ x ⇒ μ x + 2 cos ⁡ y + μ y x + 2 sin ⁡ y = μ cos ⁡ y + μ x x cos ⁡ y

Fazendo μ y = 0 , isto é, μ = μ x , temos:

μ x + 1 cos ⁡ y = μ x x cos ⁡ y

Se cos ⁡ y = 0 , então y n = 2 n + 1 π / 2 com n ∈ Z . O que implica x + 2 = 0 . Logo, não é solução para todo intervalo. Deixando-a de lado, temos:

μ x + 1 = μ x x ⇒ ∫ 1 + 1 x d x = ∫ μ x μ d x ⇒ x + ln ⁡ x + C = ln ⁡ x e x e C = ln ⁡ μ ,   C ∈ R

Logo, μ = D x e x , tomando D = 1 .

Passo 2

Assim, temos que:

x e x x + 2 sin ⁡ y + x e x x cos ⁡ y y ' = 0

É uma equação exata. Tal que:

∂ F ∂ x =   x e x x + 2 sin ⁡ y

∂ F ∂ y =   x 2   e x cos ⁡ y

Logo, vê-se que F = x 2 e x sin ⁡ y e pela teoria das equações exatas, temos:

F = A ∈ R

x 2 e x sin ⁡ y = A

Logo, suas soluções

y = 2 k + 1 2 π ± arcsin ⁡ A x 2 e x

Resposta

x 2 e x sin ⁡ y = A

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