1) Resolva a EDO 2 x + y d x + x + 3 y d y = 0 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a solução geral da EDO dada por

2 x + y d x + x + 3 y d y = 0

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, quando temos uma EDO do tipo M x , y d x + N x , y d y = 0 , a primeira coisa que podemos verificar é se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ...

Se a igualdade for satisfeita, significa que temos uma EDO exata, assim, para obter a solução geral dessa equação:

Integramos M em relação a x .

y = ∫ M x , y d x + g y

Depois derivamos o resultado em relação a y .

Obtemos g ' y igualando a N x , y e integramos g ' y para obter g y e substituir na solução.

Bora lá! 😉

Passo 2

Se M x , y = 2 x + y , integrando com relação a x , temos

y = ∫ 2 x + y d x + g y

y = x 2 + x y + g y

Derivamos o resultado em relação a y

d x 2 + x y + g y d y = x + g ' y

Igualando a N x , y

x + g ' y = x + 3 y

g ' y = 3 y

E finalmente, integrando g ' y temos

g y = ∫ 3 y d y

g y = 3 y 2 2 + C

Substituindo em y

y = x 2 + x y + 3 y 2 2 + C

y - x y - 3 y 2 2 = x 2 + C

1 - x y - 3 y 2 2 = x 2 + C

Simplificando...

- 3 y 2 2 + 1 - x y - 2 3 = x 2 + C - 2 3

y 2 + 2 x - 1 3 y = - 2 x 2 3 + C

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

y 2 + 2 x - 1 3 y = - 2 x 2 3 + C

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