3) Achar um fator integrante da equação y d x - x - y sin ⁡ y d y = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular um fator integrante da EDO y d x - x - y sin ⁡ y d y = 0

Tem ideia do que fazer? 👀

Para calcular o fator integrante, identificamos as funções M x , y e N x , y a partir da estrutura M x , y d x + N x , y d y = 0

A partir daí, calculamos uma função f x , tal que

f x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N x , y

E com isso substituímos na formulinha do fator integrante

μ x = e ∫ f x d x

Tranquilo? Bora começar😎

Passo 2

A partir da equação y d x - x - y sin ⁡ y d y = 0 , temos

M x , y = y

N x , y = y sin ⁡ y - x

Calculando as derivadas parciais

∂ M ∂ y = ∂ y ∂ y = 1

∂ N ∂ x = ∂ y sin ⁡ y - x ∂ x = - 1

Substituindo na função f

f x = 1 - - 1 y sin ⁡ y - x

f x = 2 y sin ⁡ y - x

Calculando o fator integrante

μ x = e ∫ 2 y sin ⁡ y - x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo...

μ x = e - 2 ln ⁡ y sin ⁡ y - x + C

μ x = y sin ⁡ y - x - 2 e C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

μ x = y sin ⁡ y - x - 2 e C

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