Como vimos em sala, a equação

- 6 x + 2 y + 12 d x + 2 x + 2 y + 4 d y = 0

é exata, cujo método de resolução leva a solução implícita 2 x y + y 2 + 4 y - 3 x 2 + 12 x = C . Obtenha a solução pelo método para equação com coeficientes lineares.

Passo 1

Bom, precisamos fazer uma translação nas variáveis x ,   y a fim de eliminar os termos constantes. Então:

x = u + h

y = v + k

Onde h e k satisfazem:

- 6 h + 2 k + 12 = 0 2 h + 2 k + 4 = 0 → h = 1 k = - 3 →   x = u + 1 y = v - 3 → d x = d u d y = d v

Passo 2

Substituindo todas essas informações na EDO:

- 6 u + 1 + 2 v - 3 + 12 d u + 2 u + 1 + 2 v - 3 + 4 d v = 0

- 3 u + v d u + u + v d v = 0

Passo 3

Ajeitando essa coisa linda, ficamos com:

d v d u = 3 u - v u + v → d v d u = 3 - v u 1 + v u

Adotando z = v u → z ' u + z = v ' . Substituindo as novas relações:

z ' u + z = 3 - z 1 + z   → d z d u u = 3 - 2 z - z 2 1 + z

∫ 1 + z z 2 + 2 z - 3 d z = - ∫ 1 u d u

Para resolver o lado esquerdo, faremos uma substituição de variável. Chamaremos

p = z 2 + 2 z - 3 → d p = ( 2 z + 2 ) d z

∫ 1 2 p d p = - ∫ 1 u d u

1 2 ln ⁡ p = - ln ⁡ u + C → 1 2 ln ⁡ z 2 + 2 z - 3 = - ln ⁡ u + C

z 2 + 2 z - 3 = e ln ⁡ u - 2 C

z 2 + 2 z - 3 = C u 2

Passo 4

Não se esqueça que estamos interessados em descobrir v :

z = v u → v 2 u 2 + 2 v u - 3 = C u 2 → v 2 + 2 u v - 3 u 2 = C

E essa expressão que encontramos é exatamente igual à solução do problema

2 x y + y 2 + 4 y - 3 x 2 + 12 x = C

Resposta

v 2 + 2 u v - 3 u 2 = C

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