Resolva a ED exata: 2 x y   d x   +   ( x 2   -   1 )   d y = 0

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente resolva a equação diferencial exata. Bom, vamos usar então o método para ED exata. Para um ED da forma:

M x , y + N x , y y ' = 0

Para a nossa ED, temos:

M x , y = 2 x y

d M x , y d y = 2 x

N x , y = x 2 - 1

d N x , y d x = 2 x

Beleza, então eu tenho uma função F ( x , y ) tal que:

d F x , y d x = 2 x y

d F x , y d y = x 2 - 1

Integrando a primeira, chegaremos a:

F x , y = x 2 y + g ( y )

Fazendo N x , y = d F x , y d y , teremos:

x 2 - 1 = x 2 + g ' y → g ' y = - 1 → g y = - y

Nossa F ( x , y ) então é igual a:

F x , y = x 2 y - y

Logo, as soluções na nossa equação exata são dadas implicitamente por:

x 2 y - y = c

Resposta

x 2 y - y = c

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