Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b :

b x y 2 + 3 x 2 d x + 2 x 2 y + 4 y 3 d y = 0

Passo 1

Vamos a nossa questão! Precisamos descobrir o valor de b que torna a nossa EDO exata e depois resolvê-la.

Mas... calma aí. O que é uma EDO exata??? Nosso pequeno problema é saber este conceito!

Mas não fiquem com medo, que é algo bem tranquilo de entendermos. Precisamos começar entendendo o que é uma forma diferencial de uma EDO.

Então, uma EDO está na forma diferencial se ela estiver escrita como M x , y d x + N x , y d y = 0 . Se compararmos com o enunciado da nossa questão, temos:

M x , y = b x y 2 + 3 x 2

N x , y = 2 x 2 y + 4 y 3

Certo! Agora sim!!! Só que, o que isto tem haver com uma EDO ser exata? Então, a chave para esta pergunta está nas nossas funções M x , y e N x , y . A EDO será exata se, e somente se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Sacaram?? É bem semelhante a ideia de campos conservativos. Inclusive no método de resolução... Mas deixaremos isto um pouco mais para frente.

Passo 2

Agora que entendemos o que é uma EDO exata, vamos descobrir o valor de b que satisfaça a igualdade das derivadas parciais. Portanto, temos:

∂ M ∂ y = 2 b x y

∂ N ∂ x = 4 x y

OBS: lembrando, ao calcularmos uma derivada parcial, consideramos todas outras incógnitas da nossa função como constantes! Logo, se derivamos em relação a x , então, tudo que tem y é uma constante!

Igualando as derivadas parciais, temos:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

2 b x y = 4 x y

b = 2

E assim resolvemos a primeira parte! Com b = 2 , temos a seguinte EDO exata:

2 x y 2 + 3 x 2 d x + 2 x 2 y + 4 y 3 d y = 0

Passo 3

Agora temos que resolver a EDO exata. Bom, a ideia aqui é fazer uma analogia com campos vetoriais. A solução da nossa EDO será uma função potencial f x , y = c tal que:

M = ∂ f ∂ x ⟹ f x , y = ∫ M d x

N = ∂ f ∂ y ⟹ f x , y = ∫ N d y

Então, temos que fazer as integrais acima e correlacionar elas. Vamos começar pela primeira. Portanto,

f x , y = ∫ M d x

f x , y = ∫ 2 x y 2 + 3 x 2 d x

f x , y = x 2 y 2 + x 3 + g y

Opa. Como assim apareceu uma g y na nossa integral indefinida? Não era para aparecer uma constate c qualquer?

Entãoooo! Lembram da história das derivadas parciais (consideramos as outras variáveis como constantes)? Então! Se estamos integrando em relação a x , a variável y será uma constante!

OBS: Se a gente tivesse integrado primeiramente em relação a N , então, a nossa constante seria uma g y .

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos ter que determinar agora quem é este g y .

Para isto, agora que obtivemos uma f x , y , precisamos relacioná-la a função N x , y . Agora, ao invés de integrarmos em relação a N , vamos derivar parcialmente nossa f x , y . Fazemos isto pois:

N = ∂ f ∂ y

Sendo assim, temos:

∂ f ∂ y = N

2 x 2 y + g ' y = 2 x 2 y + 4 y 3

g ' y = 4 y 3

Por fim, vamos integrar essa nossa g ' y para encontrarmos g y e assim finalizarmos a questão! Estamos quase lá! Por fim,

g y = ∫ 4 y 3 d y = y 4 + c 1

Aleluia! Cuidado para não esquecerem da constante c 1 (aqui é apenas um número qualquer, pois a nossa g é função de uma única variável). Portanto, a resposta da nossa EDO será:

f x , y = c

x 2 y 2 + x 3 + y 4 + c 1 = c

x 2 y 2 + x 3 + y 4 = c

Como soma de constantes não deixa de ser uma constante, então podemos escrever a equação acima com uma única constante. E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

b = 2

x 2 y 2 + x 3 + y 4 = c

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