Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 d x + y 1 - x 2 d y = 0

Passo 1

O problema não nos deu condições de valor inicial. Então, vamos ter uma constante indeterminada no final.

Temos aqui uma equação com d x e d y separados e com funções multiplicando os dois. Assim temos uma equação na forma: M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, podemos verificar se é uma função exata. Para isso, começamos usando o critério de Euler:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ⟹ E q .   e x a t a

Para isso, vamos começar derivando:

∂ M ∂ y = ∂ cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 ∂ y

Como estamos derivando em relação a y , toda função de x se comporta como uma constante, então:

∂ M ∂ y = ∂ cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 ∂ y = - 2 x y

Agora vamos derivar N em relação a x . Analogamente, vamos ter: ∂ N ∂ x = ∂ y 1 - x 2 ∂ x = - 2 x y

Então, temos:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - 2 x y

Ou seja, é uma equação exata!

Passo 2

Como temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:

∫ M x , y d x = u x , y = C

Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos: ∫ M x , y d x = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 d x

Vamos separar essas integrais em duas:

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x - y 2 ∫ x d x

O y 2 pode sair da integral, porque estamos integrando em relação a x . Beleza, então para primeira integral temos o sen ⁡ x e sua derivada cos ⁡ x aparecendo marotamente ali, então podemos fazer a substituição:

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

Portanto, vamos ter:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ u d u = u 2 2 = sen ⁡ x 2 2

Deixamos sem a “constante” por enquanto, já voltamos para ela. Vamos para próxima integral:

y 2 ∫ x d x = y 2 x 2 2 = x 2 y 2 2

Assim, vamos ter:

∫ M x , y d x = sen ⁡ x 2 2 - x 2 y 2 2 + g y

Agora uma coisa muito importante! Vai sempre aparecer uma função de x ao final do cálculo da integral! Isso, porque estamos integrando em relação a x , então temos ali aquele g y .

Além disso, para completar a solução, precisamos determinar esse g y . Fazemos isso comparando: ∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

Passo 3

Então vamos derivar:

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = ∂ ∂ y sen ⁡ x 2 2 - x 2 y 2 2 + g y = - x 2 y + g ' y

Passo 4

E então vamos comparar:

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

- x 2 y + g ' y = y 1 - x 2

- x 2 y + g ' y = - x 2 y + y

Comparando as duas expressões, ficamos com:

g ' y = y

Passo 4

Então, encontramos g y integrando g ' y :

g y = ∫ g ' y d y = ∫ y d y = y 2 2

Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.

Passo 5

Legal, agora já podemos escrever nossa solução:

∫ M x , y d x = u x , y = C

u x , y = sen ⁡ x 2 2 - x 2 y 2 2 + g y = C

u x , y = sen ⁡ x 2 2 - x 2 y 2 2 + y 2 2 = C

Resposta

u x , y = sen ⁡ x 2 2 - x 2 y 2 2 + y 2 2 = C

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