Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

Passo 1

Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)

M x , y = e y e N x , y = x e y - 2 y

Para ser exata: M y = N x

M y = e y

N x = e y

Logo é uma EDO Exata!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

M x , y d x = e y d x = x e y + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

x e y + g y y = x e y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x e y + g ' y = x e y - 2 y g ' y = - 2 y

Integrando em relação a y temos

g y = - y 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x e y + g y = x e y - y 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x e y - y 2 = C

Resposta

C = x e y - y 2

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