Passo 1

Olhando bem a equação a gente vê que a única forma que sabemos como resolver isso é por equação exata. Vamos manipular essa equação então.

- y 2 - y sen ⁡ x d x + 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y = 0

M x , y = - y 2 - y sen ⁡ x

N x , y = 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y

Agora tá com bastante cara de exata e já podemos começar os trabalhos.

Passo 2

Primeiro vamos conferir se ela é realmente exata.

∂ M ∂ y = - 2 y - sen ⁡ x

∂ N ∂ x = - sen ⁡ x - 2 y

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Logo temos realmente uma equação exata. Já podemos aplicar aquele método que já conhecemos bem.

Passo 3

Calculando ∫ M x , y d x

∫ - y 2 - y sen ⁡ x d x = - y 2 x + y cos ⁡ x + g ( y )

Passo 4

Derivando o que obtemos no passo 3 em relação a y

∂ - y 2 x + y cos ⁡ x + g y ∂ y = - 2 y x + cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 5

Comparando o que obtivemos no passo 4 com N ( x , y )

- 2 y x + cos ⁡ x + g ' y = 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y

g ' y = 1 1 + y 2

Integrando para encontrar g ( y )

g y = arctan ⁡ y

Passo 6

Vamos ter a nossa solução u ( x , y ) substituindo o que encontramos no passo 5 com o que encontramos no passo 3

u = - y 2 x + y cos ⁡ x + arctan ⁡ y

Tomando u x , y = C teremos.

C = - y 2 x + y cos ⁡ x + arctan ⁡ y

Passo 7

Agora vamos usar a condição inicial, y 0 = 1 , para encontrarmos o valor de C .

C = 0 + 1 . cos ⁡ 0 + arctan ⁡ 1

C = 1 + π 4

Logo a nossa solução será.

1 + π 4 = - y 2 x + y cos ⁡ x + arctan ⁡ y

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y