Considere a equação diferencial

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

  1. Determine todas as funções f x que tornam exata a equação diferencial
  2. Encontre a solução geral g x , y = c da equação diferencial usando a f x achada no item a .

Passo 1

a )

Ele quer que essa função seja Exata, para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que P x , y = y 2 sen ⁡ x e Q x , y = y f x . A função P é sempre a que multiplica d x e a função Q é sempre a que multiplica d y .

∂ P ∂ y = 2 y sen ⁡ x

∂ Q ∂ x = y f ' x

Como queremos ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x para ela ser exata vamos ter

2 y sen ⁡ x = y f ' x

f ' x = 2 sen ⁡ x

Isso nos diz que

f x = - 2 cos ⁡ x + C 1

Passo 2

b )

Vamos agora resolver essa equação exata, vamos passar a ter P x , y = y 2 sen ⁡ x e Q x , y = y - 2 cos ⁡ x + C 1

Integrando P x , y em relação a x

∫ y 2 sen ⁡ x   d x = y 2 - cos ⁡ x + k y = - y 2 cos ⁡ x + k y

Então já achamos, mais ou menos, a g x , y que tem derivada parcial em relação a x igual a P e tem derivada parcial em relação a y igual a Q . Só precisamos saber quem é essa “constante” que apareceu na integral que depende de y .

g x , y = - y 2 cos ⁡ x + k y

Passo 3

Vamos derivar g em relação a y e comparar com Q

∂ g ∂ y = - 2 y cos ⁡ x + k ' y

Comparando com Q

- 2 y cos ⁡ x + k ' y = y - 2 cos ⁡ x + C 1 = - 2 y cos ⁡ x + C 1 y

Logo

k ' y = C 1 y

Que integrando obtemos

k y = C 1 y 2 2 + C 2

Passo 4

Logo g x , y = - y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2 + C 2 que define implicitamente as soluções da equação dada pela forma

- y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2 + C 2   = C

Resposta

g x , y = - y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2 + C 2 = C

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