Considere o seguinte P V I y = y ( x ) ,

e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y + e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y d x = 0 ,     x > 0 y 0 = π 4

( a ) Verifique que a EDO associada ao P V I dado é exata.

( b ) Calcule a solução do P V I ,(use o fato que ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C ,     C constante). Depois, responda se a solução calculada é única ou não, justificando sua resposta.

Passo 1

( a )

Bom, para verificar que é exata, temos que dada uma EDO:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Precisamos que

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver se isso acontece com a nossa EDO:

e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y + e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y d x = 0

e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y d x + e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y = 0

M x , y = e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y → ∂ M ∂ y = e x cos ⁡ y + sec 2 ⁡ y  

N x , y = e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y → ∂ N ∂ x = e x cos ⁡ y + sec 2 ⁡ y

Então temos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Logo, ela é exata.

Passo 2

( b )

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y d x = e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y + g ( y ) ∂ y = e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y + g ' ( y ) = e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y → g ' y = 0

Integrando com relação a y :

g y = 0

A gente ignora constantes neste passo.

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y + g y = e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y = C

Passo 7

Vamos usar a condição inicial do problema:

y 0 = π 4

Substituindo:

e 0 sen ⁡ π 4 + 0 tan ⁡ π 4 = C

C = 2 2

Logo, a solução é:

e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y = 2 2

Passo 8

Agora vamos ver se a solução é única:

Como já vimos a primeira coisa é escrever a equação isolando a derivada, ou seja, da seguinte forma

d y d x = f ( x , y )

e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y + e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y d x = 0

e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y d x = - e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y

d y d x = - e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y

Simplificando essa fração:

d y d x = - e x   sen ⁡ y + sen ⁡ y cos ⁡ y e x cos ⁡ y + x 1 cos 2 ⁡ y = - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x

Passo 9

Agora, devemos identificar f ( x , y ) . Por comparação a gente tem que

f x , y = - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x

E a derivada com respeito a y é:

∂ f ∂ y = ∂ - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x ∂ y = - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 ' e x cos 3 ⁡ y + x - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x ' e x cos 3 ⁡ y + x 2

∂ f ∂ y = ∂ - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x ∂ y = - cos 2 ⁡ y e x cos ⁡ y + 1 - sin 2 ⁡ y   2 e x cos ⁡ y + 1 e x cos 3 ⁡ y + x - sen ⁡ y cos ⁡ y   e x cos ⁡ y + 1 - 3 e 2 cos 3 ⁡ y   sen ⁡ y e x cos 3 ⁡ y + x 2

Não precisa se preocupar muito em simplificar isso.

Passo 10

Nesse passo, devemos determinar onde as funções anteriores são contínuas.

Tanto f ( x , y ) como sua derivada com relação a y são funções contínuas (trigonométrica, polinômio e exponencial) e o denominador é sempre diferentes de zero no conjunto dos reais, o produto das funções contínuas também será função contínua, logo são contínuas em todos os reais.

Passo 11

Como as funções são contínuas para todos os reais, podemos escolher qualquer intervalo que contenha a condição inicial

x 0 = 0 ,   y 0 = π 4

Só para ilustrar, podemos escolher

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Portanto, existe solução e ela é única em algum intervalo que contenha x = 0 .

Resposta

a   ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

b   e x sen ⁡ y + x tan ⁡ y = 2 2

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