5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

f) 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que verificar que a EDO 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0 , então M x , y = 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 e N x , y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 .

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 ∂ y = ∂ 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 ∂ x

Pelo método de derivação polinomial, temos

18 x 5 y 2 + 20 x 3 y 4 = 18 x 5 y 2 + 20 x 3 y 4

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + g y = C

A integral de 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 em relação a x é obtida pelo método de integração polinomial, ou seja

∫ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x = x 6 y 3 + x 4 y 5

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = x 6 y 3 + x 4 y 5 + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ x 6 y 3 + x 4 y 5 ∂ y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4

3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 + g ' y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

x 6 y 3 + x 4 y 5 = C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x 6 y 3 + x 4 y 5 = C

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