6) Resolver os Problemas de Valor Inicial.

a) y - 1 d x + x - 3 d y = 0 , y 0 = 2 / 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que obter a solução da EDO separável y - 1 d x + x - 3 d y = 0 dado que y 0 = 2 / 3 .

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO separável é uma equação na qual as variáveis independentes e dependentes podem ser separadas em lados opostos da equação. Em outras palavras, a equação pode ser escrita na forma:

g y d y = f x d x

Onde g y e f x são funções conhecidas de y e x , respectivamente. Para resolver essa equação, basta integrar ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis.

Integrando ambos os lados, obtemos:

∫ g y d y = ∫ f x d x + C

Onde C é uma constante de integração. Essa é a solução geral da EDO separável.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Se a EDO é dada por y - 1 d x + x - 3 d y = 0 , separando os termos, temos

y - 1 d x = - x - 3 d y

1 3 - x d x = 1 y - 1 d y

No nosso caso, f x = 1 3 - x e g y = 1 y - 1 .

Integrando nos dois lados...

∫ 1 3 - x d x = ∫ 1 y - 1 d y

- ln ⁡ 3 - x = ln ⁡ y - 1 + C

Elevando os dois lados por e , podemos simplificar o l n

e - ln ⁡ 3 - x = e ln ⁡ y - 1 + C

1 3 - x = y - 1 C

Como C é uma constante qualquer, então podemos dizer que - 1 C = C , ou seja

1 3 - x = y - 1 - 1 C

1 x - 3 = y - 1 1 C  

y - 1 3 - x = C

Como y 0 = 2 3 , então podemos determinar C como

2 3 - 1 3 - 0 = C

C = 1

Logo, a solução desse problema é

y - 1 3 - x = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y - 1 3 - x = 1

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