Considere o problema de valor inicial

1 + x 2 y ' + 2 x y = - x y 0 = 0

Qual o limite de y ( x ) quando x tende a ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Primeiro, nós vamos resolver nossa equação diferencial (já vamos ver como). Mas na hora da integração sempre aparece uma constante, e é nessa hora que usamos a condição inicial, pra definir essa constante.

Daí, quanto já tivermos calculada nossa função y , nós podemos calcular seu limite quando x tende a . Beleza? É grande, mas bora!

Passo 2

Pra resolver nossa equação diferencial, primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

1 + x 2 y ' + 2 x y = - x

1 + x 2 d y d x + 2 x y + x = 0

E multiplicar tudo por d x :

( 1 + x 2 ) d y + 2 x y + x d x = 0

Assim, a gente conseguiu separar o d x do d y , era esse o objetivo.

Agora a gente pode identificar quem é o M e quem é o N .

Daí da nossa teoria temos:

N = 1 + x 2 ∴ ∂ N ∂ x = 2 x  

M = 2 x y + x ∴ ∂ M ∂ y = 2 x

As derivadas mistas são iguais! Oba! Bom sinal! Nem precisamos de fator integrante!

Passo 3

Podemos seguir pra integração:

∫ N d y = ∫ ( 1 + x 2 ) d y = y + y x 2 + g x = u ( x , y )

E agora vamos derivar em relação a x :

g ' x + 2 x y = M = 2 x y + x

Daqui temos que

g ' x = x

g x = ∫ x d x = x 2 x

E a solução é u x , y = C :

y + y x 2 + x 2 2 = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 0 = 0

Daí:

y + y x 2 + x 2 2 = C

0 + 0 + 0 = C

C = 0

Então nossa solução é:

y + y x 2 + x 2 2 = 0

E isolando y :

y 1 + x 2 = - x 2 2

y = - x 2 1 + x 2

Passo 5

E por fim, o limite de y x quando x → ∞ é:

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞ ⁡ - x 2 1 + x 2 = ∞ ∞

Vou aplicar a regra de L’Hopital:

lim x → ∞ ⁡ - x 2 1 + x 2 = lim x → ∞ ⁡ - 2 x 2 x = lim x → ∞ ⁡ - 1 = - 1

Resposta

- 1

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