Sejam f   :   [ − 1 ,   3 ]   →   R contínua com f ( x )   ≤   0 , para todo x   ∈   [ − 1 ,   3 ] ,

A   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≥   f ( x ) }   e B   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≤   x 2   +   3 }

tais que a área de A ∩ B seja igual a 23. Calcule   ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a integral

  ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Sabemos que a área A ∩ B é igual a 23, sendo essa dada pela diferença das integrais:

A A   ∩   B = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Pois,

A   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≥   f ( x ) }   e B   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≤   x 2   +   3 } .

Então a região B está abaixo da curva x 2   +   3 e a região A está acima da curva   f ( x ) .

Então vamos lá!

Passo 2

Temos que

A A   ∩   B = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - ∫ - 1 3 f ( x )   d x = 23

Então vamos isolar a integral de nosso interesse

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - 23

Passo 3

Agora, com essas informações, podemos resolver a integral e obter o resultado desejado:

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - 23 = ( x 3 3 + 3 x ) | - 1 3 - 23

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ( 27 + 1 3 + 9 + 3 ) - 23 = 28 3 - 11 = - 5 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ - 1 3 f ( x )   d x = - 5 3 .

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