Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é exata e então determine a sua solução geral.

(7)     y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x d x +   x   -   s e n   x d y = 0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO é exata

  y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x d x +   x   -   s e n   x d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

é exata quando

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

Então, identificando

M ( x ,   y ) = y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x ;

N ( x ,   y ) = x   -   s e n   x .

Vamos verificar que a EDO é exata e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x ) = 1 - c o s x

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( x   -   s e n   x ) = 1 - c o s x

Então, temos que a EDO é exata, pois

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x .

Passo 3

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos resolver a integral:

∫ M ( x ,   y ) d x = ∫ ( y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x ) d x

Resolvendo a quarta integral pelo método de integração por partes, u = x e d v = s e n   x d t :

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t e t d t = - x   c o s   x + ∫ c o s   x   d x = - x   c o s   x + s e n   x .

Voltando, e já resolvendo as integrais simples, temos que

∫ ( y   -   y   c o s   x   +   c o s   x   -   x   s e n   x ) d x = y   x - y   s e n   x + x   c o s   x

∫ M ( x ,   y ) d x = y   x - y   s e n   x + x   c o s   x .

Passo 4

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( y   x - y   s e n   x + x   c o s   x )

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x =   x -   s e n   x

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ x   -   s e n   x - x +   s e n   x ] d y = 0 .

Passo 5

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

y   x - y   s e n   x + x   c o s   x + 0 = C

Assim, temos a solução:

y   x - y   s e n   x + x   c o s   x + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y   x - y   s e n   x + x   c o s   x + C = 0 .

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