Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é exata e então determine a sua solução geral.

(9)     ( 2 x   +   y   +   s e n   x )   d x   +   ( x   −   2 y )   d y = 0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO é exata

  ( 2 x   +   y   +   s e n   x )   d x   +   ( x   −   2 y )   d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

é exata quando

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

Então, identificando

M ( x ,   y ) = ( 2 x   +   y   +   s e n   x ) ;

N ( x ,   y ) = ( x - 2   y ) .

Vamos verificar que a EDO é exata e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( 2 x   +   y   +   s e n   x ) = 1

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( x - 2   y ) = 1

Então, temos que a EDO é exata, pois

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x .

Passo 3

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos resolver a integral:

∫ M ( x ,   y ) d x = ∫ ( 2 x   +   y   +   s e n   x ) d x

Resolvendo as integrais simples, temos que

∫ M ( x ,   y ) d x = x 2 + x y - c o s   x .

Passo 4

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( x 2 + x y - c o s   x )

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x =   x

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ x - 2   y - x ] d y = - y 2 .

Passo 5

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

x 2 + x y - c o s   x -   y 2 = C

Assim, temos a solução:

x 2 + x y - c o s   x -   y 2 + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x 2 + x y - c o s   x -   y 2 + C = 0 .

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