5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

d) cos ⁡ y + y c o s x d x + s e n x - x s e n y d y = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que verificar que a EDO cos ⁡ y + y c o s x d x + s e n x - x s e n y d y = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se cos ⁡ y + y c o s x d x + s e n x - x s e n y d y = 0 , então M x , y = cos ⁡ y + y c o s x e N x , y =   s e n x - x s e n y .

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ cos ⁡ y + y c o s x   ∂ y = ∂ s e n x - x s e n y ∂ x

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

cos ⁡ x - s e n y = cos ⁡ x - s e n y

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ cos ⁡ y + y c o s x d x + g y = C

A integral de cos ⁡ y + y c o s x em relação a x é obtida pelo teorema fundamental também, ou seja

∫ cos ⁡ y + y c o s x d x = x c o s y + y s e n x

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = x c o s y + y s e n x + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ x c o s y + y s e n x + g y ∂ y = s e n x - x s e n y

- x s e n y + s e n x + g ' y = s e n x - x s e n y

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

x c o s y + y s e n x = C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x c o s y + y s e n x = C

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