Para cada equação, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução:

b) 3 x 2 - 2 x y + 2 d x + 6 y 2 - x 2 + 3 d y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Primeiramente, a questão quer saber se a equação é exata ou não. Mas como saber se uma equação diferencial é exata ou não?

Bom, o critério, também conhecido como condição de Euler, é a seguinte:

Uma EDO do tipo:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Será exata se e somente se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Para o nosso caso, temos a seguinte EDO:

3 x 2 - 2 x y + 2 d x + 6 y 2 - x 2 + 3 d y = 0

Onde:

M x , y = 3 x 2 - 2 x y + 2

N x , y = 6 y 2 - x 2 + 3

Derivando para verificar a condição de Euler, temos:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 - 2 x y + 2 = - 2 x

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x 6 y 2 - x 2 + 3 = - 2 x

Opa, elas são iguais. Então, podemos dizer que a EDO é exata!

Agora vamos encontrar sua solução.

Passo 2

Nós sabemos da teoria, que a solução de uma EDO exata é dada implicitamente por:

u x , y = C

Para chegar nesse resultado, vamos começar integrando M ( x , y ) em relação a x :

M x , y = 3 x 2 - 2 x y + 2

∫ M ( x , y ) = ∫ 3 x 2 - 2 x y + 2 d x

Vamos imaginar que y é uma constante:

∫ 3 x 2 - 2 x y + 2 d x = x 3 - x 2 y + 2 x + g ( y )

O g ( y ) é como se fosse uma compensação por integrarmos somente em relação a x .

Passo 3

Agora, vamos derivar o resultado obtido no passo 2 em relação a y .

∂ ∂ y x 3 - x 2 y + 2 x + g ( y ) = - x 2 + g ' ( y )

E comparar esse resultado com nosso N ( x , y ) :

6 y 2 - x 2 + 3 = - x 2 + g ' ( y )

6 y 2 + 3 = g ' ( y )

Integrando g ' ( y ) encontramos g ( y ) :

∫ g ' ( y ) d y = ∫ ( 6 y 2 + 3 ) d y = 2 y 3 + 3 y

Passo 4

Agora só nos resta obter a função u x , y = ∫ M ( x , y ) d x , que nós encontramos no passo 2:

u x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + g ( y )

Substituindo g ( y ) :

u x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + 2 y 3 + 3 y = C

E achamos nossa solução implícita. Valeu, galera! 😉

Resposta

u x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + 2 y 3 + 3 y = C

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