Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

Passo 1

Antes de começarmos a resolver a nossa EDO, percebam que a EDO pode ser escrita da forma:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que M x , y = 1 + 2 x y e N x , y = x 2 - 1 . Dentre os casos de EDO de primeira ordem estudados, esta questão está se parecendo bastante com uma EDO exata!

Precisamos confirmar este fato, pois é ele quem vai deixar claro a forma que devemos trabalhar para resolvermos a questão.

Portanto, vamos checar as derivadas parciais dessas funções M e N . Logo,

∂ M ∂ y = 2 x

∂ N ∂ x = 2 x

Como ambas as derivadas parciais são iguais, temos uma EDO exata!

Passo 2

Agora que sabemos que a nossa EDO é exata, precisamos encontrar uma função f x , y que é a sua solução. O que sabemos dessa função f é que:

f x x , y = M x , y

f y x , y = N x , y

Se as derivadas parciais são iguais as funções M e N , então,

f x , y = ∫ M x , y d x = ∫ N x , y d y

Vamos então escolher integrar N e verificar o que obtemos. Logo,

f x , y = ∫ x 2 - 1 d y = x 2 y - y + h x

Estamos quase lá! Ao integrarmos em relação a y , a nossa constante obtida foi uma função de x . Para finalizarmos a questão, só precisamos descobrir quem é essa constante!

Passo 3

E agora, como que descobrimos quem é essa função h x ?

Simples. Vamos utilizar as informações que deixamos de lado até agora!

Nós não sabemos que a derivada parcial f x é igual a função M ? Vamos trabalhar com esta informação agora! Então, temos:

f x x , y = 2 x y + h ' x = 1 + 2 x y

h ' x = 1

Portanto, h x = x . Logo, a nossa função f x , y é dada por:

f x , y = x 2 y - y + x

Como queremos esboçar todas as possíveis soluções para a EDO, vamos igualar f x , y a uma constante C. Portanto, a solução da EDO é:

x 2 y - y + x = C

Resposta

x 2 y - y + x = C

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