Resolva o problema de valor inicial abaixo, insto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

cos ⁡ y + y 2 - x sen ⁡ y y ' = 0

y 0 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas. Vamos primeiro trocar y ' por d y d x para ficar com aquela cara que conhecemos de EDO exata.

cos ⁡ y + y 2 - x sen ⁡ y d y d x   = 0

cos ⁡ y d x + y 2 - x sen ⁡ y d y = 0

Vamos usar o critério de Euler para saber se a EDO é exata. Sabendo que P x , y = cos ⁡ y e Q x , y = y 2 - x sen ⁡ y . A função P é sempre a que multiplica d x e a função Q é sempre a que multiplica d y .

∂ P ∂ y = - sen ⁡ y

∂ Q ∂ x = - sen ⁡ y

Como ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

Passo 2

Integrando P x , y em relação a x

∫ cos ⁡ y   d x = x cos ⁡ y + k y

Então já achamos, mais ou menos, a φ x , y que tem derivada parcial em relação a x igual a P e tem derivada parcial em relação a y igual a Q . Só precisamos saber quem é essa “constante” que apareceu na integral que depende de y .

φ x , y = x cos ⁡ y + k y

Passo 3

Vamos derivar φ em relação a y e comparar com Q

∂ φ ∂ y = - x sen ⁡ y + k ' y

Comparando com Q

- x sen ⁡ y + k ' y = y 2 - x sen ⁡ y

Logo

k ' y = y 2

Que integrando obtemos

k y = y 3 3

Passo 4

Logo φ x , y = x cos ⁡ y + y 3 3 que define implicitamente as soluções da equação dada pela forma

x cos ⁡ y + y 3 3 = C

Mas como temos um PVI podemos determinar essa constante C . A condição inicial foi 0 , 1 então

0 cos ⁡ 1 + 1 3 3 = C

1 3 = C

E vamos ter a seguinte forma das soluções da equação

x cos ⁡ y + y 3 3 = 1 3

Resposta

x cos ⁡ y + y 3 3 = 1 3

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