Exercícios Resolvidos de Equação Exata

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = 2 y 2 x - 3 e N x , y = 2 y x 2 + 4 . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = 2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y = y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 2 x 2 - 3 x + g ( y ) ∂ y = 2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4 → g ' y = 4 ∴ g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y

Passo 6

Como u ( x , y ) = C , onde C é uma constante.

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = C

Passo 7

Utilizando as informações do PVI, y 1 = 1 , temos.

y = 1

x = 1

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1 = C

C = 2

Passo 8

A solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau onde

a = x 2

b = 4

c = - 3 x - 2

Então podemos resolver

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 9

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

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