Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que P x , y = 2 y 2 x - 3 e Q x , y = 2 y x 2 + 4 . A função P é sempre a que multiplica d x e a função Q é sempre a que multiplica d y .

∂ P ∂ y = 4 y x

∂ Q ∂ x = 4 y x

Como ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

Passo 2

Integrando P x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = 2 y 2 x 2 2 - 3 x + k y = y 2 x 2 - 3 x + k y

Então já achamos, mais ou menos, a φ x , y que tem derivada parcial em relação a x igual a P e tem derivada parcial em relação a y igual a Q . Só precisamos saber quem é essa “constante” que apareceu na integral que depende de y .

φ x , y = y 2 x 2 - 3 x + k y

Passo 3

Vamos derivar φ em relação a y e comparar com Q

∂ φ ∂ y = 2 y x 2 + k ' y

Comparando com Q

2 y x 2 + k ' y = 2 y x 2 + 4

Logo

k ' y = 4

Que integrando obtemos

k y = 4 y

Passo 4

Logo φ x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y que define implicitamente as soluções da equação dada pela forma

y 2 x 2 - 3 x + 4 y   = C

Mas como temos um PVI podemos determinar essa constante C . A condição inicial foi 1,1 então

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1   = C

1 - 3 + 4 = C ⇒ C = 2

Passo 5

A solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau, então podemos resolver

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 6

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

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