A condição necessária e suficiente para que a equação M ( x , y ) d x   +   N ( x , y ) d y   =   0 seja diferencial exata é que, sendo M e N funções contínuas e deriváveis, se tenha d M d y = d N d x .

Resolva a equação exata x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:

x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Vamos começar definindo quem são as funções M ( x , y ) e N ( x , y ) da nossa equação.

M x , y = x 3 + y 2

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y

Na EDO exata, a solução é dada implicitamente por u x , y = c

Então, temos que calcular essa função u .

A partir de agora, vamos fazer as etapas de resolução de uma equação exata.

Para isso, começamos integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M ( x , y ) d x = ∫ x 3 + y 2 d x = x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Lembrando que essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a x toda função que dependia apenas de y foi tratada como constante, então na integração, temos que considerar isso.

Agora, devemos derivar esse resultado em função de y .

d x 4 4 + y 2 x + g y d y = 2 x y + g ' y

Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função N ( x , y )

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y = 2 x y + g ' y

Com isso, a gente tem que :

cos ⁡ y = g ' ( y )

Se integrarmos dos dois lados, vamos descobrir quanto vale g ( y )

∫ cos ⁡ y d y = ∫ g ' ( y ) d y x

g y = sen ⁡ y

Essa é a última etapa para calcularmos u ( x , y ) e assim acharmos a nossa solução.

u x , y = c = ∫ M d x = x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Substituindo o valor de g y = sen ⁡ y , ficará:

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = c

Uhuul!! Chegamos na resposta! Eu sei que parece um pouco esquisito, mas é só ir se familiarizando com esse passo a passo para resolver equação exata.

Resposta

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = c

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