Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.

I- y d x + x d y = 0

II- x - 2 y d x + x + y d y = 0

III- 2 x 2 - y d x + x + y d y = 0

( ) Apenas a II

( ) Apenas a III

( ) Apenas a I

( ) I, II e III são exatas.

( ) I, II e III são não exatas.

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente veja quais funções são exatas. Para uma equação na forma:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ser exata, ela deve obedecer à seguinte condição:

d M d y = d N d x

Beleza, vamos analisar cada uma das nossas equações:

I- y d x + x d y = 0

Temos:

M x , y = y       e       N x , y = x

d M d y = 1 = d N d x

Logo, essa equação é exata!

Passo 2

Agora, vamos para a segunda função:

II- x - 2 y d x + x + y d y = 0

Temos:

M x , y = x - 2 y       e       N x , y = x + y

d M d y = - 2

d N d x = 1

Como as derivadas são diferentes, essa equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos para a terceira equação:

III- 2 x 2 - y d x + x + y d y = 0

Temos:

M x , y = 2 x 2 - y       e       N x , y = x + y

d M d y = - 1

d N d x = 1

Novamente, como as derivadas são diferentes, essa equação também não é exata.

Resposta

Apenas a I

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