Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

b)

d y d x = - 4 y 2 x + 2 4 x 2 y

Passo 1

Como já vimos essa EDO é exata, assim, vamos resolver da forma padrão. Assim:

d y d x = - 4 y 2 x + 2 4 x 2 y

- 4 x 2 y d y = 4 y 2 x + 2 d x

4 y 2 x + 2 d x + 4 x 2 y d y = 0

M x , y = 4 y 2 x + 2 e N x , y = 4 x 2 y

Passo 2

Vamos integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ 4 x y 2 + 2     d x = 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y )

Passo 3

Vamos derivar o obtido no passo 2 com relação a y

∂ 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y ) ∂ y = 4 x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Agora, vamos comparar o obtido no passo 3 com N ( x , y )

4 x 2 y + g ' y = 4 x 2 y → g ' y = 0

Integrando em relação a y temos:

g y = C

Passo 5

Agora vamos escrever a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y ) = 2 x 2 y 2 + 2 x + C

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = 2 x 2 y 2 + 2 x + C = C

Resposta

C = x 2 y 2 + x

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y