Encontre a solução geral da equação diferencial:

t y 2 - t 3 + t 2 y d y d t = 0

Passo 1

Olha só, temos funções de y no meio do nosso problema. Então não temos aqui uma EDO linear. Mas aqui, se multiplicarmos tudo por d t , vamos ter: t y 2 - t 3 d t + t 2 y   d y = 0

Ou seja, uma equação na forma: M t , y d t + N t , y d y = 0

Com: M t , y = t y 2 - t 3

N t , y = t 2 y

E temos uma equação que poder ser uma equação exata. Vamos verificar isso.

Passo 2

Para verificar se uma equação é exata, usamos o critério de Euler que diz que se: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ t

Então, temos uma equação exata. Assim, vamos verificar: ∂ M ∂ y = 2 t y

∂ N ∂ t = 2 t y

Opa, olha só! As duas derivadas deram iguais, então temos de fato uma equação do tipo exata!

Passo 3

Como se trata de uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por: u t , y = ∫ M t , y d t = C

Assim, vamos calcular essa integral. Como estamos integrando em relação a t , tudo que for y é considerando como se fosse uma constante e também, por conta disto, vai aparecer uma função de y no resultado:

∫ M t , y d t = ∫ t y 2 - t 3 d t = y 2 ∫ t d t - ∫ t 3 d t = y 2 t 2 2 - t 4 4 + g y

Passo 4

Não podemos simplesmente substituir essa integral com o valor de g y ainda a determinar. Para encontrar sua expressão, usamos o fato de que:

∂ ∂ y ∫ M t , y d t = N t , y

Então, vamos derivar o que encontramos no passo anterior em relação a y para poder comparar:

∂ ∂ y y 2 t 2 2 - t 4 4 + g y = t 2 y + g ' y

Assim, comparando, temos: t 2 y + g ' y = t 2 y

g ' y = 0

Passo 5

Então, a partir da derivada encontramos g y integrando: g ' y = 0 ⟹ g y = ∫ 0 d y = 0

Deixamos assim mesmo, sem a constante.

Passo 6

Dessa maneira, temos: ∫ M t , y d t = y 2 t 2 2 - t 4 4 + g y

∫ M t , y d t = y 2 t 2 2 - t 4 4

Logo, nossa solução vai ser:

u t , y = ∫ M t , y d t = C

u t , y = y 2 t 2 2 - t 4 4 = C

E é isso!

Resposta

u t , y = y 2 t 2 2 - t 4 4 = C

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