Encontre uma solução para a seguinte equação exata:

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Passo 1

Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Mas ela tem uma propriedade especial, que é essa aqui:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem vamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma e.d.o exata?

Temos que aproveitar uma outra propriedade delas, que é a seguinte: É garantido que existe uma função ψ x , y tal que:

∂ ψ ∂ x = M           e         ∂ ψ ∂ y = N

E nesse caso, a solução da e.d.o. é:

ψ x , y = c

Passo 2

Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são M e N . Pra isso é só comparar as equações:

M x , y d x + N x , y d y = 0

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Ou seja:

M x , y = 3 x 2 y 3 + y 4 N x , y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

Agora a gente já pode começar a procurar ψ . A primeira equação é:

∂ ψ ∂ x = M

∂ ψ ∂ x = 3 x 2 y 3 + y 4

∂ ψ = 3 x 2 y 3 + y 4 ∂ x

Integrando em relação a x :

∫ ∂ ψ = ∫ 3 x 2 y 3 + y 4 ∂ x

Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante no final:

ψ = x 3 y 3 + x y 4 + K 1 y

Por que a constante aparece como uma função de y ? Bom, já que a gente integrou só em relação a x , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de y .

Acontece mais ou menos a mesma coisa quando você integra em relação a y usando a outra equação:

∂ ψ ∂ y = N

∂ ψ ∂ y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

∫ ∂ ψ = ∫ 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 ∂ y

ψ = x 3 y 3 + 1 5 y 5 + x y 4 + K 2 x

Passo 3

Então tá, ficaram dois candidatos para a função ψ :

ψ = x 3 y 3 + x y 4 + K 1 y ψ = x 3 y 3 + 1 5 y 5 + x y 4 + K 2 x

Já que a função tem que satisfazer as duas equações ao mesmo tempo, vamos ajustar o K 1 y e o K 2 x pra fazer as duas soluções ficarem iguais.

A segunda equação já tem todos os termos da primeira, com exceção do 1 5 y 5 , então vamos usar o K 1 y pra corrigir isso:

K 1 y = 1 5 y 5         ⇒           ψ = x 3 y 3 + x y 4 + 1 5 y 5 ψ = x 3 y 3 + 1 5 y 5 + x y 4 + K 2 x

Ok, agora o único jeito de deixar as duas iguais é zerando o K 2 x :

K 2 x = 0         ⇒           ψ = x 3 y 3 + x y 4 + 1 5 y 5 ψ = x 3 y 3 + 1 5 y 5 + x y 4

Beleza, então nossa função ψ x , y final é essa aqui:

ψ = x 3 y 3 + x y 4 + 1 5 y 5

E conforme a gente viu lá no passo 1 , a solução da e.d.o.:

ψ x , y = c

x 3 y 3 + x y 4 + 1 5 y 5 = c

Pronto!

Resposta

A solução da e.d.o é x 3 y 3 + x y 4 + 1 5 y 5 = c .

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