Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

Passo 1

Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso(Se é que é possível)!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata!

M x , y = x + x y 2 e N x , y = y + x 2 y

Para ser exata: M y = N x

M y = 2 x y

N x = 2 x y

Logo é uma EDO Exata!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

M x , y d x = ( x + x y 2 ) d x = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y y = x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x 2 y + g ' y = y + x 2 y g ' y = y

Integrando com relação a y :

g y = y 2 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

- ''

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

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