Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández

Resolva a equação diferencial

( cos x cos y ) y ' + tg x - sen x sen y = 0

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.

( cos x cos y ) d y d x + tg x - sen x sen y = 0

cos x cos y d y + tg x - sen x sen y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg x - sen x sen y d x + cos x cos y d y = 0

Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.

Verificando se ela é exata!

Dada tg x - sen x sen y d x + cos x cos y d y = 0 é só olhar e ver que M x ,   y = tg x - sen x sen y e que N x , y = cos x cos y . Logo

M y = - sen x cos y = N x

Concluímos então que a equação é exata.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrando M em relação à x

tg x - sen x sen y d x = - ln cos x + sen y cos x + g ( y )

Lembrando que:

ln sec x = ln 1 cos x = - ln cos x

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

- ln cos x + sen y cos x + g ( y ) y = cos y cos x + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

cos y cos x + g ' y = cos x cos y g ' y = 0 g y = 0

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = - ln cos x + sen y cos x + g y = - ln cos x + sen y cos x

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u = - ln cos x + sen y cos x = C

Resposta

As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação

- ln cos x + sen y cos x = C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Ganhe 1 hora de acesso grátis
para continuar vendo esse e mais conteúdos.

Cadastre-se no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas