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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Duas cargas puntiformes, cada uma com carga positiva Q , estão fixadas a uma distância 2 a entre elas. Considere uma terceira carga q , também positiva, posicionada em uma altura genérica h ao longo da bissetriz do eixo que separa as cargas (veja a figura abaixo) e inicialmente em repouso. A carga q só pode se mover ao longo desta bissetriz.

Escolha um sistema de coordenadas apropriado. Em seguida:

  1. Calcule a força elétrica (módulo, direção e sentido) exercida pelas duas cargas iguais a Q sobre a carga q .
  2. Encontre a distância h para a qual o módulo da força exercida sobre a carga q é máximo.
  3. Calcule o módulo, direção e sentido da força elétrica no item b).

Considere, agora, que a carga Q da esquerda seja trocada por outra com o sinal negativo, - Q .

d) Calcule, nesta nova condição, as respostas dos itens b) e c).

Passo 1

  1. Usando a coordenada cartesiana com eixo z para cima, como mostra a figura abaixo, a força exercida é a soma dos componentes z das forças exercidas por cada carga Q . As componentes horizontais se cancelam.

Então, a força na direção z será dada por

F z , t o t = 2 F z = 2 F cos ⁡ θ   ,

sendo que, cada força individualmente é dada por

F = 1 4 π ϵ 0 q Q r 2 = 1 4 π ϵ 0 q Q z 2 + a 2     ,  

Lembrando que a distância entre Q e q é r = z 2 + a 2 , a hipotenusa dos triângulos retângulos da figura.

E o cosseno de θ sai da nossa figura! É isso aqui:

cos ⁡ θ = z r = z z 2 + a 2

Juntando isso tudo, vamos ficar com

F z , t o t = 2 q Q 4 π ϵ 0 z z 2 + a 2 3 / 2     .

Botando a direção (que é pra cima!)

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 z z 2 + a 2 3 / 2     z ^

Passo 2

b) A força é máxima quando

d F z , t o t d z = 0

Jogando a nossa força do passo anterior

d d z q Q 2 π ϵ 0 z z 2 + a 2 3 / 2 = q Q 2 π ϵ 0 d d z z z 2 + a 2 3 / 2

Aí temos que fazer essa derivada chatinhaaaaa..... Pra isso temos que usar a regra do quociente (lembra dela?)

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Onde f = z e g = z 2 + a 2 3 / 2 . As derivadas então serão

f ' = 1

(Mole!)

z 2 + a 2 3 / 2 ' = 3 2 z 2 + a 2 1 / 2 ( 2 z )

(Não tão mole, mas fazer o que, né? ᷅\_(ヅ)_/ ᷄ ).

A nossa derivada vai ficar esse bicho feio aqui

d d z z z 2 + a 2 3 / 2 = 1 z 2 + a 2 3 / 2 - z 3 2 z 2 + a 2 1 / 2 2 z z 2 + a 2 3 / 2 2

d d z z z 2 + a 2 3 / 2 = z 2 + a 2 3 / 2 - 3 z 2 z 2 + a 2 1 / 2 z 2 + a 2 3

Meio chatinho, mas dá pra simplificar um pouco colocando z 2 + a 2 1 / 2 no numerador

z 2 + a 2 1 / 2 z 2 + a 2 1 - 3 z 2 z 2 + a 2 3

Aí dá pra dar uma cortada em cima e em baixo e dá pra simplificar o que tá em colchetes!

z 2 + a 2 1 / 2 z 2 + a 2 1 - 3 z 2 z 2 + a 2 3 = z 2 + a 2 - 3 z 2 z 2 + a 2 5 / 2 = a 2 - 2 z 2 z 2 + a 2 5 / 2

Agora finalmente terminamos!

d F z , t o t d z = q Q 2 π ϵ 0 a 2 - 2 z 2 z 2 + a 2 5 / 2  

Agora temos que impor que essa expressão seja 0 . Isso acontece quando o que tá nos colchetes for nulo, ou seja

a 2 - 2 z 2 = 0 → z 2 = a 2 2

h = a 2

Então, a força é máxima quando h = a 2   , tomando apenas a solução para z > 0 , ou seja, considerando que q está acima da linha que une as duas cargas Q .

Passo 3

A intensidade da força máxima aparece quando substituirmos z = a / 2   na expressão pra força! Assim vamos ter

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 z z 2 + a 2 3 / 2     z ^

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 ( a / 2 ) ( a / 2 ) 2 + a 2 3 / 2     z ^ = q Q 2 π ϵ 0 ( a / 2 ) a 2 2 + a 2 3 / 2     z ^

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 a / 2 3 a 2 2 3 / 2 z ^ = q Q 2 π ϵ 0 a / 2 3 a 2 2 3 a 2 2 1 / 2 z ^

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 a / 2 3 a 3 2 3 2   z ^

F → z , t o t = q Q 2 π ϵ 0 a 2 2 2 3 a 3 3   z ^

Simplificando:

F → z , t o t = q Q 3 π ϵ 0 a 2 3 z ^

Passo 4

d) Se trocamos a carga Q na esquerda com – Q , teremos a situação ilustrada na figura abaixo. Nesse caso, a força tem componente horizontal no sentido da direita para a esquerda, ao longo da direção do eixo O y , e seu módulo será dado por:   F R = 2 F → sen ⁡ θ .

Nesse caso, como

sin ⁡ θ = a z 2 + a 2   ,

teremos que o módulo da força resultante será:

F R = 2 F → sin ⁡ θ = 1 4 π ϵ 0 2 q Q z 2 + a 2   a z 2 + a 2   .  

Derivando com relação a z e igualando a zero:

d F R d z = 2 q Q a - 3 2 2 z z 2 + a 2 5 2 = 0 ⇒ z = 0   .  

Substituindo z = 0 na expressão para F R   acima, teremos que a força máxima nesse caso será:

F R 0 = 1 4 π ϵ 0 2 q Q 0 2 + a 2   a 0 2 + a 2

F m a x = q Q 2 π ϵ 0 a 2   .

Resposta

  1. F z , t o t = 2 q Q 4 π ϵ 0 z z 2 + a 2 3 2  

  2. A força é máxima quando
  3. h = a 2

  4. O valor da força máxima é
  5. F → z , t o t = q Q 3 π ϵ 0 a 2 3 z ^

  6. A força será máxima quando

h = 0

E seu valor será

F m a x = q Q 2 π ϵ 0 a 2  

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Uma partícula puntiforme que tem carga de 5,00μ C está local
Duas cargas puntiformes positivas, com carga Q , estão no ei