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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Três partículas idênticas, de massa m e carga   q , se encontram no instante   t   =   0 nas posições iniciais x 10 = - d ,     x 20   = 0   ,   x 30   =   + d , ao longo do eixo x , como mostra a Figura. Não considere nenhuma outra força, além das forças eletrostáticas, agindo sobre as partículas.

a) Calcule as forças resultantes sobre cada uma das partículas 1 ,   2   e   3 , no instante inicial.

b) Calcule a energia eletrostática total no instante inicial.

Após o instante t   =   0 , as partículas são liberadas do repouso para se moverem livremente sob a ação das forças eletrostáticas.

c) Após um tempo muito longo, calcule as posições e velocidades de cada uma das três partículas acima.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

No instante inicial elas estão em repouso, então só temos as forças eletrostáticas envolvidas. A força resultante sobre a partícula 2 é zero, por questão de simetria. Ela dista igual das duas outras cargas, então sobre ela a força resultante é zero.

F → 2 = 0

Sobre a partícula 3 temos duas forças: da carga 2 a uma distância d e da carga 3 a uma distancia 2 d , a força resultante então será (na direção horizontal para a direita, já que as cargas são positivas):

F → 3 = F → 13 + F → 23

F → 3 = k q q d 2 + k q q 2 d 2 x ^

F → 3 = 5 4 k q 2 d 2 = 5 16 ϵ 0 π q 2 d 2 x ^

E por simetria a força resultante na partícula 1 será igual em módulo a da partícula 3 , mas com sinal negativo, pois ela aponta na direção negativa de x :

F → 1 = - 5 16 ϵ 0 π q 2 d 2 x ^

Passo 2

Letra (b):

A energia eletrostática também é calculada aos pares: U 12 , U 13 e U 23 . A energia vai com o inverso da distância. Então agora é só substituir:

U T = U 12 + U 13 + U 23

U T = k q q d + k q q 2 d + k q q d

U T = 5 2 k q 2 d

U T = 5 8 π ϵ 0 q 2 d

Tranquilo? Vamos para o terceiro item?

Passo 3

Letra (c):

Aqui temos que a energia se conserva, então:

U e l i + K i = U e l f + K f

As partículas se afastam por completo, então U e l f = 0 ; No início as partículas estão em repouso, então K i = 0 . A partícula que está no meio fica em repouso, então na parte de energia cinética temos apenas as contribuições das partículas 1 e 3 , e elas contribuem igualmente, já que possuem a mesma massa. Assim a equação de conservação de energia fica:

2 . 1 2 m v 2 = U e l i

A energia eletrostática inicial foi calculada no item anterior, então agora é só substituir:

m v 2 = 5 8 π ϵ 0 q 2 d

v = 5 8 π ϵ 0 m q 2 d

Então as velocidades são:

v 1 → = - 5 8 π ϵ 0 m q 2 d x ^ ,   x 1 = - ∞

v 2 → = 0 ,   x 2 = 0

v 3 → = 5 8 π ϵ 0 m q 2 d x ^ ,   x 3 = ∞

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   F → 1 = - 5 16 ϵ 0 π q 2 d 2 x ^

F → 2 = 0

F → 3 = 5 16 ϵ 0 π q 2 d 2 x ^

b ) U T = 5 8 π ϵ 0 q 2 d

c ) v 1 → = - 5 8 π ϵ 0 m q 2 d x ^ ,   x 1 = - ∞

v 2 → = 0 ,   x 2 = 0

v 3 → = 5 8 π ϵ 0 m q 2 d x ^ ,   x 3 = ∞

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