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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Duas esferas idênticas de massa m estão suspensas em fios de seda (??) de comprimento L , como indicado na figura abaixo. Cada esfera possui a mesma carga; logo, q 1 = q 2 = q . O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas, de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes. Mostre que, se o ângulo θ for pequeno, a distância d no equilíbrio entre as esferas será dada por d = q 2 L 2 π ϵ 0 m g 1 / 3 .

Sugestão: quando θ for pequeno, então t g θ ≈ sen ⁡ θ

Passo 1

Belezinha. Questão que remete à Física I, a parada é fazer as equações do equilíbrio para as esferas:

Σ F x = 0

Σ F y = 0

Na realidade, por causa da simetria só precisa fazer as equações pra uma delas. Então partiu.

Decompondo para a esfera da esquerda:

Temos que as equações são:

Σ F x = T s e n θ - F c = 0

Σ F y = T c o s θ - m g = 0

A brincadeira é resolver para a distância d entre as esferas, que ainda não apareceu na equação. Ainda tem uma incógnita que não tratamos, que é a força repulsiva F c entre as esferas.

Passo 2

Sabemos também que a força F c entre as esferas é dada pela equação de Coulomb:

F c = k q × q d 2

F c = k q 2 d 2

Substituindo:

T s e n θ - k q 2 d 2 = 0

d 2 = k q 2 T s e n θ

Agora falta se livrar dessa tensão, que não é dado.

Passo 3

Usando a equação do equilíbrio em y , temos:

T c o s θ - m g = 0

T = m g cos ⁡ ( θ )

Substituindo:

d 2 = cos ⁡ θ m g × k q 2 s e n θ

Arrumando a bagunça:

d 2 = k q 2 m g × 1 t g ( θ )

Agora é a hora de usar o dado do enunciado!

Passo 4

Como foi dado que, para θ pequeno temos:

t g θ ≈ sen ⁡ θ

Tiramos da figura o seno:

sen ⁡ θ = d 2 L

Substituindo na equação:

d 2 = k q 2 m g × 2 L d

Agora é só isolar o d :

d 3 = 2 k q 2 L m g

Substituindo o valor de k :

k = 1 4 π ϵ 0

Temos que:

d 3 = q 2 L 2 π ϵ 0 m g

E fim de papo. O resto é só tirar a raiz:

d = q 2 L 2 π ϵ 0 m g 1 / 3

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