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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Três partículas de carga   q são posicionadas sobre um círculo de raio R de forma que elas estão equidistantes uma da outra, como mostrado na figura abaixo. Uma quarta partícula de carga Q   é posicionada sobre o centro deste círculo, que coincide com a origem do sistema de coordenadas indicado. Nessa situação, para que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das partículas de carga q seja nula, o valor de Q deve ser igual a:

a) 3 q 3

b) 2 q 3

c)   3 q 2

d) q

e)   2 3 q 3

f) 3 q

g) 3 q 2

Passo 1

A primeira coisa de todas é lembrarmos qual a fórmula da força elétrica. Ela é dada por

F → = k   q 1   q 2 r 2 r ^

Queremos encontrar qual o valor de Q tal que a soma de todas as forças nas cargas - q seja nula.

Como as cargas estão simetricamente espaçadas, a gente pode fazer a soma de forças em apenas uma delas e igualar a 0, e assim, encontramos a expressão para Q .

Passo 2

Vamos escolher a carga que está no eixo y, e fazer as contas com ela pra poder achar Q.

A força sobre essa carga 1 é:

F → 1 = F → 2,1 + F → 3,1 + F → Q , 1

A força F → 2,1 é:

F → 2,1 = k q 1   q 2 r 2 r ^

Sabemos que:

q 1 = q 2 = - q

Mas qual a distancia r entre elas?

podemos descobrir por trigonometria, vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos descobrir a distância r formando o triângulo a seguir

(Esse triângulo poderia ser entre quaisquer cargas -q, ia dar na mesma, ou seja a distancia r é a mesma entre 1 e2 e entre 1 e 3)

No caso, a gente tem um triângulo isósceles, pois dois lados dele são iguais ( R ). O ângulo do meio, aquele que está ali no centro do círculo, vai ser 90 ° + 30 ° = 120 , e como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180 ° , vamos ter o seguinte triângulo

Agora é só a gente aplicar a lei dos senos pra descobrir d :)

s e n   120 ° r = s e n   30 ° R

3 2 r = 0,5 R

r = R 3

Booa! Agora que sabemos r é só aplicarmos na fórmula da força elétrica lá do passo 2!

Passo 4

A força elétrica de 2 vai ser

F → 2,1 = k q 1   q 2 r 2 r ^

Já temos todos os dados? Não! Mas tá quase. Só falta analisar a direção e sentido da força. Como ambas tem o mesmo sinal, a força vai ser repulsiva. Então vamos ter algo do tipo:

Já marquei ali os ângulos. Eles são iguais porque o triangulo é isósceles, de lado R. então o vetor força tem uma componente em y que é F y = F cos ⁡ 30 °   e uma componente em x que é F x = F sen ⁡ 30 ° . Agora sim! Vamos substituir isso tudo:

F → 2,1 = k q 2 R 2 3 cos ⁡ 30 °   y ^ + sen ⁡ 30 °   x ^

F → 2,1 = k q 2 R 2 3 3 2   y ^ + 1 2   x ^

Beleza! Fazendo a mesma coisa para a força de 3 em 1, teremos algo do tipo:

F → 3 , 1 = k q 2 R 2 3 cos ⁡ 30 °   y ^ + sen ⁡ 30 °   ( - x ^ )

F → 3,1 = k q 2 R 2 3 3 2   y ^ - 1 2   x ^

Apareceu aquele menos ali no x ^ porque a força também é repulsiva, e está apontando no sentido negativo de x. Agora, vamos voltar lá naquela equação que vai dar todas as forças sobre a carga 1.

F → 1 = F → 2,1 + F → 3,1 + F → Q , 1

Substituindo o que já encontramos:

F → 1 = k q 2 R 2 3 3 2   y ^ + 1 2   x ^ + k q 2 R 2 3 3 2   y ^ - 1 2   x ^ + F → Q , 1

Arrumando isso:

F → 1 = k q 2 R 2 3 3 y ^ + F → Q , 1

Como o exercício pede que a força sobre qualquer carga –q seja nula, vamos igualar isso tudo a zero:

k q 2 R 2 3 3 y ^ + F → Q , 1 = 0

Então:

F → Q , 1 = - k q 2 R 2 3 3 y ^

Então o módulo disso é:

F Q , 1 = - k q 2 R 2 3 3

Mas sabemos o módulo da força que Q faz em 1, pela equação do passo 1:

F Q , 1 = k Q - q R 2

Certo?

Então, igualando as duas equações, temos:

- k q 2 R 2 3 3 = k Q - q R 2

Logo,

Q = q 3 3

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Resposta

A)   q 3 3

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