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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Três partículas carregadas, com cargas q 1 , q 2 e q 3 , são fixadas sobre os vértices de um triângulo equilátero, como mostrado na figura abaixo. Sabe-se que q 3 > 0 , enquanto q 1 e q 2 têm sinais e intensidades a serem determinadas. Para isso, mede-se a força eletrostática resultante  F → que q 1 e q 2 exercem sobre q 3 e verifica-se que ela tem a direção e sentido mostrados na figura. Notando que a linha horizontal tracejada na figura é paralela ao lado horizontal do triângulo, podemos afirmar que:

a)     q 1 > 0 ,   q 2 < 0   e   q 1 > | q 2 |

b)     q 1 > 0 ,   q 2 > 0   e   q 1 > | q 2 |

c)     q 1 < 0 ,   q 2 > 0   e   q 1 > | q 2 |

d)     q 1 < 0 ,   q 2 < 0   e   q 1 > | q 2 |

e)     q 1 > 0 ,   q 2 < 0   e   q 1 < | q 2 |

f)     q 1 > 0 ,   q 2 > 0   e   q 1 < | q 2 |

g)     q 1 < 0 ,   q 2 < 0   e   q 1 > | q 2 |

h)     q 1 < 0 ,   q 2 < 0   e   q 1 < | q 2 |

Passo 1

Vamos considerar primeiro a situação em que as duas cargas têm o mesmo sinal. Começando com o caso em que elas têm sinal positivo. Nesse caso, como mostra a Figura abaixo, teremos uma força resultante cujo vetor sobre a carga q 3 está entre os vetores   F → 31 e   F → 32 . Portanto, podemos excluir esse caso

Se as duas cargas são negativas, o vetor resultante estará apontando para baixo, como na próxima Figura. Por isso, também podemos excluir esse caso de ambas as cargas serem negativas.

Portanto, as cargas precisam ter sinais opostos. Resta saber, agora, qual delas é positiva e qual é negativa.

Se q 1 < 0 e q 2 > 0 , então teremos uma força resultante em q 3 como na Figura abaixo.

Dessa discussão, concluímos que devemos ter q 1 > 0 e q 2 < 0 . Falta sabermos como os módulos delas estão relacionados entre si.

Passo 2

Como já sabemos que q 1 > 0 e q 2 < 0 , então os vetores que temos são os da Figura abaixo.

Dada essa Figura, podemos escrever os vetores   F → 31 e   F → 32 como

F → 31 = F → 31 cos ⁡ 60 ˚   x ^ + s e n 60 ˚   y ^ ,

F → 32 = F → 32 cos ⁡ 60 ˚   x ^ - s e n 60 ˚   y ^ .

Portanto, somando vetorialmente as forças acima, a força resultante  F → sobre a carga q 3 é

F → = F → 31 + F → 32 = F → 31 + F → 32 cos ⁡   60 ˚   x ^ + F → 31 - F → 32   s e n 60 ˚   y ^   ,

que é a expressão geral para a força resultante sobre a carga q 3 devida à sua interação com as cargas q 1 > 0 e q 2 < 0 .

Se os módulos das cargas fossem iguais, ou seja, q 1 = | q 2 | , então, F → 31 = | F → 32 | . Nesse caso, a força resultante   F → sobre a carga q 3 se reduz a

F → = F → 31 + F → 32 = 2 F → 31 cos ⁡ 60 ˚   x ^   ,

ou seja, a força resultante  F → estaria apontando na direção e sentido do vetor  + x ^ se q 1 = | q 2 | .

Agora, da Figura que o problema dá,   F → tem componente ao longo do eixo y apontando para + y ^ . Então, a partir da expressão geral para a força resultante  F → que encontramos, temos que ter a seguinte condição

F → 31 > F → 32 .

Passo 3

Colocando a expressão dada pela lei de Coulomb para o módulo da força na condição acima, teremos

q 1 q 3 4 π ε 0 L 2 > q 2 q 3 4 π ε 0 L 2     ,

de onde a gente tira que

q 1 > q 2 .

Portanto, as cargas têm que ser tais que q 1 > 0 , q 2 < 0 e q 1 > | q 2 | .

Resposta

Letra a).

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