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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Três cargas puntiformes de igual valor Q e idênticas massas M , são penduradas de um ponto comum por fios isolantes, todos de comprimento L . Na situação de equilíbrio, o arranjo fica como ilustrado na Figura ao lado (considere a aceleração da gravidade g conhecida).

a) Calcule a distância, d , de equilíbrio entre as cargas em função de R (veja o desenho).

b) Calcule o valor da força elétrica resultante sobre cada uma das cargas devido à ação das demais. Expresse seu resultado em termos do ângulo θ e do comprimento L .

c) Calcule o valor de cada carga Q em função de M , θ e L (Sugestão: lembre-se que no equilíbrio a força total resultante nas cargas deve ser igual a zero).

Passo 1

Como todas as cargas são iguais, temos que a distância entre elas deve ser a mesma, ou seja, as cargas estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero. Esse triângulo equilátero está circunscrito em um círculo de raio R .

Temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 2 R e o cateto adjacente ao ângulo de 30 ° é d . Assim

cos ⁡ 30 ° = d 2 R

d = 2 R c o s 30 ° = 2 R 3 2

d = R 3

Passo 2

Vamos olhar para a carga da ponta de cima.

Nessa carga, vemos que só haverá força na direção vertical. Como as outras duas cargas estão a mesma distância d = R 3 da carga que estamos olhando, temos que a força que cada uma exerce é

F = k Q 2 d 2 = k Q 2 3 R 2

Para pegar a componente vertical dessa força, multiplicamos pelo cosseno de 30 ° . Como a força total é duas vezes essa força vertical, temos que

F t o t a l = 2 F c o s ( 30 ° )

F t o t a l = 2 k Q 2 3 R 2 3 2

F t o t a l = 3 k Q 2 3 R 2

Porém nossa resposta tem que estar em termos de L e θ . Isso é feito reparando na primeira figura

R = L s e n θ

Assim

F t o t a l = 3 k Q 2 3 L s e n θ 2

Passo 3

Agora temos que usar a condição de que o sistema está em equilíbrio. Isso quer dizer que as forças no plano do círculo se anulam e fora do plano também

onde F e l e é a força devido às outras duas cargas. Assim temos duas equações

T s e n θ = F e l e T c o s θ = M g

Dividindo uma pela outra, teremos

tan ⁡ θ = F e l e M g

tan ⁡ θ = 1 M g 3 k Q 2 3 L s e n θ 2

Q 2 = 3 M g t a n θ L s e n θ 2 3 k

Q = L s e n θ 3 M g t a n θ k

Resposta

  1. d = R 3
  2. F t o t a l = 3 k Q 2 3 L s e n θ 2
  3. Q = L s e n θ 3 M g t a n θ k

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