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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Duas partículas pontuais, cada uma com massa M e carga positiva Q (que chamaremos de partículas Q ), estão penduradas por fios de comprimento L , em equilíbrio estável, como mostra a primeira Figura 1.1 abaixo.

Escolha um sistema de coordenadas apropriado. Em seguida:

  1. Calcule a força elétrica (módulo, direção e sentido) exercida pelas duas partículas Q , uma sobre a outra, em função de Q , L e θ .
  2. Encontre uma equação para o ângulo de equilíbrio θ em função de Q , L , M e g . (Você não precisa resolver essa equação!)
  3. Agora, as mesmas duas partículas Q do caso anterior estão fixadas nas extremidades de uma haste horizontal de comprimento total D , por sua vez presa a uma haste vertical, como mostra a Figura 1.2 abaixo. Uma outra partícula, de carga igual a q e de massa M , pode deslizar ao longo da haste vertical. Sabendo que, na situação da Figura 1.2, a mesma se encontra em equilíbrio estático, sob a ação de seu peso e das forças eletrostáticas exercidas pelas outras duas partículas.

  4. Calcule o valor da carga q .
  5. Finalmente, trocamos a partícula de carga q e massa M por outra de carga 3 q e massa 3 M . Mais uma vez, a nova partícula atinge o equilíbrio estático, sob a ação de seu peso e das forças eletrostáticas exercidas pelas outras duas partículas.

  6. Calcule, nesta nova condição de equilíbrio, a que altura abaixo da haste horizontal a nova partícula ( 3 q , 3 M ) vai se situar.

Passo 1

a) Temos duas cargas positivas, então, a força entre elas será de repulsão e vamos tomar o eixo que mostramos na figura abaixo. A força sobre a carga positiva da direita estará apontando na direção e sentido de + x ^ , enquanto a força sobre a partícula da esquerda estará apontando para - x ^ , como está na figura.

O módulo da força F → é dado pela lei de Coulomb:

F → = k Q 2 D 2   .

Agora, olhando para o ângulo θ do triângulo retângulo da figura acima, teremos:

sen ⁡ θ = D / 2 L       ⇒     D = 2 L sen ⁡ θ     .

Jogando na expressão para o módulo, o vetor força sobre a partícula da direita será

F → d i r = F → = k Q 2 2 L sen ⁡ θ 2   + x ^   ,

enquanto que sobre a da esquerda, teremos uma força igual a

F → e s q = - F → = k Q 2 2 L sen ⁡ θ 2 - x ^   ,

sendo que k = 1 / ( 4 π ε 0 ) .

Passo 2

b) Olhando para a figura acima e usando que D = 2 L sen ⁡ θ , vemos que a tangente do ângulo θ fornece o seguinte:

tan ⁡ θ = F M g = k Q 2 2 L sen ⁡ θ 2 M g     ⇒   tan ⁡ θ sen 2 ⁡ θ = k Q 2 4 L 2 M g   .

Passo 3

c) No caso deste item, precisamos encontrar qual é o sinal da carga q . O problema diz que essa carga está em equilíbrio e que sobre ela atua a força peso apontando para baixo. Isso significa que essa carga deve ser negativa, já que, como mostra a figura abaixo, isso resultaria em uma força na direção vertical que cancela a força peso M g .

A força resultante devida às cargas Q estará na vertical e terá módulo igual a

F → R = 2   | F → | cos ⁡ 30 ° = 2 3 2 F → = 3 F →   .

Igualando essa força a M g

3 k q Q D 2 = M g     ⇒     q = - M g D 2 3 k Q   .  

Isso também fornece a seguinte razão

q M = - g D 2 3 k Q   .

Passo 4

d) Como mostra a equação acima, a razão q / M não muda se alterarmos a carga e a massa da partícula para 3 q e 3 M , respectivamente. Portanto, a posição de equilíbrio dessa nova carga será a mesma que a do caso anterior, que será, então,

cos ⁡ 30 ° = h D   ⇒ h = D 3 2   .  

Resposta

  1. F → d i r = k Q 2 2 L sen ⁡ θ 2   + x ^     ;   F → e s q = k Q 2 2 L sen ⁡ θ 2 - x ^   ;  
  2. tan ⁡ θ sen 2 ⁡ θ = k Q 2 4 L 2 M g   ;
  3. q M = - g D 2 3 k Q   ;
  4. h = D 3 2   .

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Uma carga puntiforme de 5,0μ C está localizada em x = 1,0m ,
Duas cargas positivas iguais, q , estão no eixo y , uma carg
Uma partícula puntiforme que tem carga de 5,00μ C está local
Duas cargas puntiformes positivas, com carga Q , estão no ei