3 – Calcular:

∬ R   x - 1 2 + y - 1 2 d x d y

Em que R é a região delimitada por x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos resolver mais essa questão juntos? Vem comigo!

Bem, o problema pediu pra gente calcular essa integral, que é uma integral dupla

∬ R   x - 1 2 + y - 1 2 d x d y

E disse que é pra gente fazer isso na região R delimitada por x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 . E como fazemos isso?

Bom, o primeiro passo será entender que região é essa, e para isso nós teremos que desenhá-la. Assim nenhum dado vai passar batido. Então bora fazer isso.

Passo 2

Nossa região de integração foi definida como sendo

x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

E sei que não está tão claro, mas essa é a equação de uma circunferência. Pra gente ver isso melhor vamos reescrever essa equação dessa forma

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Podemos somar uma unidade dos dois lados da equação, pois assim ficamos com dois quadrados perfeitos, veja:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 1

Isso porque

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

E

y 2 - 2 y + 1 = y - 1 2

Então nossa região se torna

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

E essa é uma circunferência de raio 1 e centro no ponto ( 1,1 ) .

E seu gráfico é dado por:

Xiii, temos um problema. Como podemos definir os limites de integração nessa região???

Bom, pra fazer isso nós vamos pensar o seguinte: do jeito que a circunferência está, a gente não consegue integrar, então vamos fazer uma mudança de variáveis para transformar essa região em uma outra circunferência centrada na origem. Isso vai ajudar bastante a gente.

Bora fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável usando nossa equação da circunferência

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

Então chamaremos

u = x - 1

E

v = y - 1

Assim ficamos com:

u 2 + v 2 = 1

Que é uma circunferência centrada na origem

Ahhhh, tem um detalhe bem importante aqui: como estamos fazendo uma mudança de variável, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. Então precisamos fazer.

x = u + 1

Assim,

∂ x ∂ u = 1   e   ∂ x ∂ v = 0  

E

y = v + 1

Assim,

∂ y ∂ u = 0   e   ∂ y ∂ v = 1

E o Jacobiano é dado por:

J = ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v = 1 0 0 1 = 1

Com isso, nossa integral que era

∬ R   x - 1 2 + y - 1 2 d x d y

Se transforma em

∬ D   u 2 + v 2 1 d u d v

Agora vamos nos concentrar em resolver essa integral.

Passo 4

Podemos passar a integral para coordenadas polares, onde

u = r cos ⁡ θ

v = r sen ⁡ θ

J = r

E as variações de r e θ podem ser vistas no gráfico como:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Transformando a integral em:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ r d r d θ

Que se transforma em:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ

Caramba!!! Viu como todas essas manobras ajudaram a melhorar bastante a nossa integral? Parece até tratamento de beleza. Rsrsr

Bora resolver, então.

Passo 5

Usando o Teorema de Fubini, vamos integral de dentro pra fora.

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ

∫ 0 2 π 1 3 d θ = 2 π 3

E prontinho. Integral resolvida.

Resposta

2 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .