Calcule

∬ D cos ⁡ y - x x + y d A

Onde D é a região trapezoidal com vértices 1,0 , 2,0 , 0,2 e 0,1 .

Passo 1

Bem, dá pra ver que esse termo dentro do cosseno não tá muito agradavel... Mas vamos tentar então uma mudança de variável que se a gente conseguir fazer

u = y - x

v = x + y

Fica cos ⁡ u v que aí é molezinha.

Só temos que ver se nosso domínio ajuda, então vamos ver como que fica isso.

Passo 2

Se marcarmos os pontos e fizermos um esboço do nosso domínio, a gente fica com:

Ou seja temos as retas:

y = 0

x = 0

y = 1 - x → x + y = 1

y = 2 - x → x + y = 2

O que já ajuda, porque essas duas últimas aí vão fica, com a nossa transformação:

v = 1

v = 2

As outras duas também não é muito díficil de ver porque se jogarmos naquelas nossas equações lá em cima, vamos ficar com:

Para y = 0 :

u = 0 - x → u = - x

v = x + 0 → v = x

Então u = - v .

A mesma coisa a gente faz para x = 0 :

u = y - 0 → u = y

v = 0 + y → v = y

Então u = v .

Nosso domínio fica 1 ≤ v ≤ 2 , - v ≤ u ≤ v .

Passo 3

Agora vamos calcular o jacobiano, mas como temos o u e v isolados, ao invés de x e y , vamos calcular primeiro o J * :

J * = ∂ u , v ∂ x , y

∂ u ∂ x = - 1       ∂ u ∂ y = 1

∂ v ∂ x = 1       ∂ v ∂ y = 1

J * = - 1 1 1 1 = - 1 - 1 = - 2 = 2

E vamos lembrar que:

J = 1 J * = 1 2

Então pra integral, vai ficar:

∬ D cos ⁡ y - x x + y d A = ∫ 1 2 ∫ - v v cos ⁡ u v 1 2 d u d v

E agora á só calcular!

Passo 4

É só integrar primeiro em u :

1 2 ∫ 1 2 v sen ⁡ u v │ - v v d v = 1 2 ∫ 1 2 v sen ⁡ v v - sen ⁡ - v v d v

1 2 ∫ 1 2 v sen ⁡ 1 - sen ⁡ - 1 d v

E agora integramos em v :

sen ⁡ 1 - sen ⁡ - 1 2 ∙ v 2 2 │ 1 2 = sen ⁡ 1 - sen ⁡ - 1 2 ∙ 4 - 1 2

⇒ 3 sen ⁡ 1 - sen ⁡ - 1 4

Já tá tudo resolvido, mas só ora ficar bonitinho, vamos lembrar que sen ⁡ - θ = - sen ⁡ θ , então:

3 4 sen ⁡ 1 - - sen ⁡ 1 = 3 4 2 sen ⁡ 1

⇒ 3 2 sen ⁡ 1

Seno de 1, que resposta é essa, ne??

Mas acontece, se eles querem ficar botando gabarito maluco assim, a gente não tem o que fazer, o que importa é que essa é a resposta!

Resposta

3 2 sen ⁡ 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .