Calcule a integral dupla

∬ R   x + y 3 d x d y

Onde R é o paralelogramo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 3,1 ) e ( 2,2 ) . Considere a mudança de variáveis u = x + y e v = x - 2 y .

Passo 1

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

u = x + y

v = x - 2 y

Rearranjando isso, obtemos:

x = 2 u + v 3

y = u - v 3

x , y = T u , v = 2 u + v 3 , u - v 3

O que nos dá:

∂ x ∂ u = 2 3

∂ x ∂ v = 1 3

∂ y ∂ u = 1 3

∂ y ∂ v = - 1 3

Fazendo o Jacobiano:

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

J = 2 3 1 3 1 3 - 1 3 = - 2 9 - 1 9 = - 1 3

J = 1 3

Passo 2

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Sabemos que no plano x y , temos os pontos ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 3,1 ) e ( 2,2 ) . Aplicando

u = x + y

v = x - 2 y

Encontramos os pontos

1,1

1 , - 2

( 4,1 )

( 4 , - 2 )

Graficamente:

A região de integração é a que está dentro desse quadrado.

Passo 3

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como é um quadrado, é tranquilo, podemos ver pela figura que:

1 ≤ u ≤ 4

- 2 ≤ v ≤ 1

Passo 4

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

∬ R   x + y 3 d x d y = ∫ - 2 1 ∫ 1 4 u 3 1 3   d u d v

Não se esqueça do Jacobiano!

E resolver isso aí:

= 1 3 ∫ - 2 1 u 4 4 1 4   d v =

= 1 3 ∫ - 2 1 4 4 4 - 1 4   d v =

= 255 12 ∫ - 2 1 d v   =

= 255 12 v - 2 1 =

= 255 12 1 + 2 =

= 255 4

Resposta

255 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .