Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo III, P1/2013.2, 1

Seja D = { ( x , y ) ∈ R 2 ; x + y ≥ 0 ,   y ≤ 0 ,   x ≤ 1 } . Calcular o valor da integral

∬ D   x 3 x + y d A

Passo 1

Essa expressão parece complicada tanto para integrar em x quanto em y , pois o termo dentro da raiz quadrada não é muito simples. Vamos, então, procurar uma substituição que facilite essa integração. Faremos:

u = x e v = x + y

Assim, o radicando passa a ser simplesmente v .

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Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Escrevendo as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v , temos o sistema:

x = u v = u + y   → y = v - u

Temos, então>

∂ x ∂ u = 1

∂ y ∂ v = 1

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = - 1  

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 1 0 - 1 1 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular os novos intervalos. Como a região de integração fica mais complexa nas variáveis u e v , vamos fazer o gráfico no plano x y :

Assim, fica mais fácil ver que 0 ≤ x ≤ 1 e - x ≤ y ≤ 0 , pois a reta vermelha é y = - x . Precisamos, agora, “traduzir” esses limites para as novas variáveis, substituindo os valores que atribuímos a x e a y . Primeiro o limite em x :

0 ≤ x ≤ 1   → 0 ≤ u ≤ 1

Agora, o limite em y fica:

- x ≤ y ≤ 0   → - u ≤ v - u ≤ 0

0 ≤ v ≤ u

Passo 4

Agora vamos montar a nova integral em termos de u e v :

∫ 0 1   ∫ 0 u u 3   v 1 2 d v d u =

Passo 5

Integraremos, então, em relação a v :

= ∫ 0 1 2 3 u 3 v 3 2 v = 0 v = u d u =

= 2 3 ∫ 0 1 u 3 u 3 2 d u = 2 3 ∫ 0 1 u 9 2 d u =

Passo 6

Integraremos, então, em relação a u :

= 2 3 × 2 11 u 11 2 0 1 d u =

Resposta

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