Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

d) ∫ 0 1 ∫ x 1 e y 3 d y d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d x d y , então temos que olhar primeiro como x varia e verificar, em seguida, como y varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que y varia de 0 até 1 e que x vai de 0 até a curva y = x ou x = y 2 . Assim, temos:

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 1

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 1 ∫ x 1 e y 3 d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 e y 3 d x d y

Assim, integrando primeiro em relação a x :

∫ 0 1 x 0 y 2 e y 3 d y

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 y 2 e y 3 d y

Passo 3

Agora para integrar em relação a y , vamos chamar u = y 3 , pra facilitar nossa vida na hora de integrar. Assim, temos:

d u = 3 y 2   d y → d u 3 = y 2 d y

Então, substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 1 1 3 e u d u

Integrando agora, temos:

1 3 e u 0 1

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

1 3 e y 3 0 1

Aplicando os limites de integração em y :

1 3 ( e 1 3 - e 0 )

= 1 3 ( e - 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 3 ( e - 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .