Calcule a integral dupla

∬ D 4 x 2 + 2 y 2 - 6 x y   d x d y

Onde D = { x , y ∈ R 2 : 0 ≤ y + x ≤ 3 ,     0 ≤ y - x ≤ 2 } . Sugestão: use mudança de variáveis.

Passo 1

Então pessoal, vamos começar tentando desenhar essa região D .

O primeiro passo é dar uma olhada nessas condições que o enunciado deu:

0 ≤ y + x ≤ 3         ⇒         y ≥ - x y ≤ - x + 3

Isso vai dar duas retas decrescentes, uma passando pela origem e a outra passando pelo ponto 0,3 .

0 ≤ y - x ≤ 2         ⇒         y ≥ x y ≤ x + 2

Isso vai dar duas retas crescentes, uma passando pela origem e a outra passando pelo ponto 0,2 .

Beleza, todas essas condições envolvem retas. Se a gente desenhar essas retas no plano cartesiano, dá pra ver qual é a região em que estamos integrando:

Passo 2

Tá, dá pra ver que aquela região é simplesmente um retângulo um pouco inclinado.

Vamos pensar em uma mudança de variáveis que facilite o trabalho de encontrar os limites de integração. Bom, a região é definida assim:

0 ≤ y + x ≤ 3 0 ≤ y - x ≤ 2

Uma boa tentativa é essa mudança de variáveis aqui:

u = y + x v = y - x

Nesse caso os limites de integração ficariam bem tranquilos:

0 ≤ u ≤ 3 0 ≤ v ≤ 2

Então beleza, vamos escrever a integral inteira com essas variáveis.

Primeiro precisamos escrever x e y em função de u e v usando esse sistema aqui:

u = y + x v = y - x

Somando as duas equações:

u + v = 2 y

y = 1 2 u + v

E substituindo isso na primeira equação:

u = 1 2 u + v + x

x = 1 2 u - v

Então:

x = 1 2 u - v y = 1 2 u + v

Ok, vamos em frente.

Passo 3

Vamos reescrever a função com as nossas novas variáveis:

f x , y = 4 x 2 + 2 y 2 - 6 x y

Ao invés de sair substituindo, vamos tentar reorganizar isso antes. Se a gente rescrever assim, por exemplo:

f x , y = 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + x 2 - y 2

Beleza, aqui já fica fácil de mudar algumas coisas:

f x , y = 3 x 2 - 2 x y + y 2 + x 2 - y 2

O primeiro termo em parênteses é o produto notável x - y 2 e o segundo é uma diferença de quadrados:

f x , y = 3 x - y 2 + x - y x + y

Então, escrevendo em função de u e v :

f x , y = 3 - v 2 + - v u = 3 u 2 - u v

Ou seja, nossa integral fica assim:

I = ∬ D 3 v 2 - u v   d x d y

Passo 4

Antes de integrar, precisamos dar um jeito de substituir o d x   d y . Vamos tentar fazer isso usando essa fórmula:

d x d y = J x , y   d u d v

Onde J x , y é o jacobiano, que tem como fórmula o determinante de uma matriz:

J x , y = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Tá, pra resolver isso vamos primeiro calcular cada uma dessas derivadas parciais. Por sorte elas são bem tranquilas de calcular:

x = 1 2 u - v y = 1 2 u + v         ⇒         ∂ x ∂ u = 1 2 ∂ x ∂ v = - 1 2             e           ∂ y ∂ u = 1 2 ∂ y ∂ v = 1 2

Então a matriz do Jacobiano fica assim:

J x , y = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

E agora é só calcular o determinante:

J x , y = 1 2 1 2 - - 1 2 1 2 = 1 4 + 1 4 = 1 2

Então:

d x d y = J x , y   d u d v

d x d y = 1 2 d u d v

Substituindo isso na integral:

I = ∬ D 3 v 2 - u v 1 2 d u d v

Agora é só colocar aqueles limites de integração que mencionamos lá em cima:

0 ≤ u ≤ 3 0 ≤ v ≤ 2

I = ∫ 0 2 ∫ 0 3 3 v 2 - u v 1 2 d u d v

Passo 5

E o próximo passo é resolver a integral:

I = ∫ 0 2 ∫ 0 3 3 u 2 - u v 1 2 d u d v

Primeiro vamos integrar em relação a u :

I 1 = ∫ 0 3 1 2 3 v 2 - u v d u = 1 2 3 v 2 u - 1 2 u 2 v 3 0 = 1 2 3 v 2 3 - 1 2 3 2 v

I 1 = 9 2 v 2 - 1 2 v

Nesse passo aí usamos o fato de que ∫ 3 v 2   d u = 3 v 2 u + C e ∫ u v   d u = 1 2 u 2 v + C

E voltando à integral:

I = ∫ 0 2 9 2 v 2 - 1 2 v   d v

I = 9 2 1 3 v 3 - 1 4 v 2 2 0

I = 9 2 1 3 2 3 - 1 4 2 2 = 9 2 8 3 - 1

I = 45 6 = 15 2 = 7,5

Beleza, esse é o resultado da integral.

Resposta

A integral vale 7,5 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .