Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R s e n ( 9 x 2 + 4 y 2 )   d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse

9 x 2 + 4 y 2 = 1

Passo 1

Fala aí, pessoal, mais um exercício de mudança de variável e

Nesse exercício vamos propor uma transformação e calcular a integral.

Olhando para nossa função dentro da integral:

s e n ( 9 x 2 + 4 y 2 )

Como temos dois elementos elevados ao quadrado, vamos usar a seguinte transformação:

u = 3 x   ,     v = 2 y

Assim, teremos:

x = u 3   ,     y = v 2  

9 x 2 + 4 y 2 = u 2 + v 2

Você viu esse truque chegando, certo?

Passo 2

Para continuar a integral mudando suas variáveis, precisamos calcular o jacobiano da transformação, ou seja, descobrir o determinante da matriz abaixo:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = ∂ ( x ) ∂ ( u ) ∂ ( y ) ∂ ( u ) ∂ ( x ) ∂ ( v ) ∂ ( y ) ∂ ( v )

As derivada parciais são mais tranquilas de resolver, temos que considerar apenas a variável que estamos interessadas na hora de derivar, por exemplo:

∂ x ∂ u

Queremos derivar a expressão x em relação a u , então tudo que não for u pode ser considerado constante:

∂ x ∂ u = d u 3 d u = 1 3

Faremos o mesmo para as outras derivadas:

∂ y ∂ u = d v 2 d u = 0

∂ x ∂ v = d u 3 d v = 0

∂ y ∂ v = d v 2 d v = 1 2

Substituindo em nossa matriz chegamos a:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 3 0 0 1 2

Para encontrar o determinante, você deve fazer o produto da diagonal principal:

P r o d u t o = 1 3 ⋅ 1 2 = 1 6

E subtrair o produto da diagonal secundária:

P r o d u t o = 0 ⋅ 0 = 0

Logo nosso determinante é:

D e t = 1 6 - 0 = 1 6

Passo 3

Show! Agora a gente pode reescrever a integral assim:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = ∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v

onde D é a parte do disco u 2 + v 2 ≤ 1 no quarto quadrante.

Então, essa integral vai se tornar mais fácil de calcular se passarmos para coordenadas polares:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = ∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v

Nas coordenadas polares, podemos encontrar através da expressão:

u 2 + v 2 ≤ 1

Que o raio deve estar entre:

0 ≤ r ≤ 1

Enquanto como estamos falando no enunciado que estamos no primeiro quadrante, o ângulo θ está dentro do intervalo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Também devemos fazer as mudanças:

∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 6 s e n r 2   r d r   d θ

Então nossa integral se torna:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 6 s e n r 2   r d r   d θ

Podemos separa as duas integrais em relação a r e em relação a θ :

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = 1 6 ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 1 r   s e n r 2 d r

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = 1 6 θ 0 π 2 - cos ⁡ r 2 2 0 1

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = 1 6 π 2 - cos ⁡ 1 2 + 1 2

O nosso resultado final é:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

Arassamos!!!! Vai firme para a próxima!

Resposta

π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .