Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2014.1, Questão 1

Encontre a área da figura plana limitada pela curva

2 x 2 + y 2 - 2 x y = a 2

Onde a > 0 é uma constante positiva.

Passo 1

Queremos o seguinte:

A = D   d x d y

Onde D = 2 x 2 + y 2 - 2 x y a 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já deu pra perceber que precisamos fazer uma mudança de variáveis aí né? Para isso, precisamos reescrever essa curva...

Repara que a equação dessa curva é bem parecida com a de uma circunferência:

2 x 2 + y 2 - 2 x y = a 2

Se esse " 2 x y " fosse só " 2 x " ou " 2 y " a gente completava o quadrado e encontrava uma circunferência deslocada.

Tá, e se a gente forçasse isso? Sente só a magia: vamos completar o quadrado em y :

2 x 2 + ( y - x ) 2 = a 2 + x 2

x 2 + ( y - x ) 2 = a 2

WTF né? Também acho, mas espera que já vai fazer sentido, prometo.

Passo 3

Agora, a gente vai fazer a seguinte mudança:^

x = u

y - x = v

Levando para a equação:

u 2 + v 2 = a 2 Olha que lindo, temos uma circunferência de raio a . Como toda e qualquer mudança, precisamos calcular seu Jacobiano:

x = u

y = v + u

x u = 1

x v = 0

y u = 1  

y v = 1

J = ( x , y ) ( u , v ) = 1 0 1 1 = 1

Passo 4

Agora vamos fazer a mudança:

A = D   d x d y = C   1 d u d v

Onde C = u 2 + v 2 a 2

Passo 5

Show, agora resolvemos essa integral.

A = C   1 d u d v = Á r e a C = π a 2

Resposta

π a 2

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