Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A

Onde R é a região trapezoidal com vértices:

1 ,   0   ,     2 ,   0   ,     0 ,   2   ,     0 ,   1

Passo 1

E aí, amigão desse outro lado da tela? Pronto para mais um exercício de mudança de variável? Nesse exercício vamos propor uma transformação e calcular a integral.

Olhando para nossa função dentro da integral:

cos ⁡ y - x y + x

Nós vemos duas expressões:

y - x y + x

Então vamos começar usando a seguinte as transformação baseadas nos elementos de dentro da função:

u = y - x  

v = y + x

Como queremos determinar quem será o x , vamos subtrair uma equação da outra:

v - u = x - - x + y - y

Chegamos então ao resultado:

2 x = v - u

x = 1 2 v - u

Podemos encontrar o valor de y usando a soma das duas equações:

u + v = y + y - x + x

Então:

u + v = 2 y

y = 1 2 ( u + v )

Passo 2

Para continuarmos a usar a mudança de variáveis, precisamos calcular o jacobiano da transformação, que nada mais é do que descobrir o determinante da matriz abaixo:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = ∂ ( x ) ∂ ( u ) ∂ ( y ) ∂ ( u ) ∂ ( x ) ∂ ( v ) ∂ ( y ) ∂ ( v )

As derivada parciais são mais tranquilas de resolver, temos que considerar apenas a variável que estamos interessadas na hora de derivar, por exemplo:

∂ x ∂ u

Queremos derivar a expressão x em relação a u , então tudo que não for u pode ser considerado constante:

∂ x ∂ u = d 1 2 ⋅ v d u + d - 1 2 ⋅ u d u = 0 - 1 2

Logo, fazendo isso para todas as outras parcelas, chegamos em:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = - 1 2 1 2 1 2 1 2

Para encontrar o determinante, você deve fazer o produto da diagonal principal:

P r o d u t o = - 1 2 ⋅ 1 2 = - 1 4

E subtrair do produto da diagonal secundária:

P r o d u t o = 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4

Logo nosso determinante é:

D e t = - 1 4 - 1 4 = - 1 2

Passo 3

Observe que R é a imagem da região trapezoidal com vértices - 1 ,   1   ,     - 2 ,   2   ,     2 ,   2   ,     1 ,   1   . Isso nos leva a escrever a integral da seguinte maneira:

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A = ∫ 1 2 ∫ - v v cos ⁡ u v   - 1 2   d u   d v

= 1 2 ∫ 1 2 v   s e n u v u = - v u = v   d v = 1 2 ∫ 1 2 2 v   s e n 1 d v = s e n 1 v 2 2 1 2 = 3 2   s e n   1

Resposta

3 2   s e n   1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .